Метод обратной матрицы. Примеры

Пример №1
Решение находим с помощью калькулятора. Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:
234
7-51
401

Вектор B:
BT=(12,-33,-7)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=2•(-5•1-0•1)-7•(3•1-0•4)+4•(3•1-(-5•4))=61
Итак, определитель 61 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:
A=
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33

Тогда:
A=1/∆ u
A11A21A31
A12A22A32
A13A23A33

где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица
AT=
274
3-50
411

Вычисляем алгебраические дополнения.
A1,1=(-1)1+1
-50
11

1,1=(-5•1-1•0)=-5
A1,2=(-1)1+2
30
41

1,2=-(3•1-4•0)=-3
A1,3=(-1)1+3
3-5
41

1,3=(3•1-4•(-5))=23
A2,1=(-1)2+1
74
11

2,1=-(7•1-1•4)=-3
A2,2=(-1)2+2
24
41

2,2=(2•1-4•4)=-14
A2,3=(-1)2+3
27
41

2,3=-(2•1-4•7)=26
A3,1=(-1)3+1
74
-50

3,1=(7•0-(-5•4))=20
A3,2=(-1)3+2
24
30

3,2=-(2•0-3•4)=12
A3,3=(-1)3+3
27
3-5

3,3=(2•(-5)-3•7)=-31
Обратная матрица
A-1=1/61
-5-323
-3-1426
2012-31

Вектор результатов X
X=A-1 • B
X=1/61
-5-323
-3-1426
2012-31
·
12
-33
-7

X=1/61
-7))

X=1/61
-122
244
61

XT=(-2,4,1)
x1=-122 / 61=-2
x2=244 / 61=4
x3=61 / 61=1
Проверка.
2•-2+3•4+4•1=12
7•-2+-5•4+1•1=-33
4•-2+0•4+1•1=-7

Пример №2.Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

-40-2
312
-12-1

Вектор B:
BT=(-6,8,3)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=-4•(1•(-1)-2•2)-3•(0•(-1)-2•(-2))+(-1•(0•2-1•(-2)))=6
Итак, определитель 6 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:
A=
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33

Тогда:
A=1/∆ u
A11A21A31
A12A22A32
A13A23A33

где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица
AT=
-43-1
012
-22-1

Вычисляем алгебраические дополнения.
A1,1=(-1)1+1
12
2-1

1,1=(1•(-1)-2•2)=-5
A1,2=(-1)1+2
02
-2-1

1,2=-(0•(-1)-(-2•2))=-4
A1,3=(-1)1+3
01
-22

1,3=(0•2-(-2•1))=2
A2,1=(-1)2+1
3-1
2-1

2,1=-(3•(-1)-2•(-1))=1
A2,2=(-1)2+2
-4-1
-2-1

2,2=(-4•(-1)-(-2•(-1)))=2
A2,3=(-1)2+3
-43
-22

2,3=-(-4•2-(-2•3))=2
A3,1=(-1)3+1
3-1
12

3,1=(3•2-1•(-1))=7
A3,2=(-1)3+2
-4-1
02

3,2=-(-4•2-0•(-1))=8
A3,3=(-1)3+3
-43
01

3,3=(-4•1-0•3)=-4
Обратная матрица
A-1=1/6
-5-42
122
78-4

Вектор результатов X
X=A-1 • B
X=1/6
-5-42
122
78-4
·
-6
8
3

X=1/6
-4*3)

X=1/6
4
16
10

XT=(0.67,2.67,1.67)
x1=4 / 6=0.67
x2=16 / 6=2.67
x3=10 / 6=1.67
Проверка.
-4•0.67+0•2.67+-2•1.67=-6
3•0.67+1•2.67+2•1.67=8
-1•0.67+2•2.67+-1•1.67=3

Пример №3.Решение матричных уравнений.
Обозначим:

A =
-13
-21

B =
07
13

Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = (-1)*1 - (-2)*3 = 5
Определитель матрицы А равен detA=5
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим слева обе части уравнения на A-1: A-1·A·X = A-1·B, тогда получим E·X = A-1·B, или X = A-1·B.
Найдем обратную матрицу A-1.
Транспонированная матрица AT.
AT =
-1-2
31

Алгебраические дополнения
A11 = (-1)1+1·1 = 1; A12 = (-1)1+2·3 = -3; A21 = (-1)2+1·-2 = 2; A22 = (-1)2+2·-1 = -1;
Обратная матрица A-1.
A-1 = 1/5
1-3
2-1

Матрицу Х ищем по формуле: X = A-1·B
X = 1/5
1-3
2-1
·
07
13
=
-3/5-2/5
-1/521/5

Ответ:
X =
-3/5-2/5
-1/521/5

Пример №4.Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

6-11
-84-1
7-21

Вектор B:
BT=(2,5,3)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=6•(4•1-(-2•(-1)))-(-8•(-1•1-(-2•1)))+7•(-1•(-1)-4•1)=-1
Итак, определитель -1 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:
A=
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33

Тогда:
A=1/∆ u
A11A21A31
A12A22A32
A13A23A33

где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица
AT=
6-87
-14-2
1-11

Вычисляем алгебраические дополнения.
A1,1=(-1)1+1
4-2
-11

1,1=(4•1-(-1•(-2)))=2
A1,2=(-1)1+2
-1-2
11

1,2=-(-1•1-1•(-2))=-1
A1,3=(-1)1+3
-14
1-1

1,3=(-1•(-1)-1•4)=-3
A2,1=(-1)2+1
-87
-11

2,1=-(-8•1-(-1•7))=1
A2,2=(-1)2+2
67
11

2,2=(6•1-1•7)=-1
A2,3=(-1)2+3
6-8
1-1

2,3=-(6•(-1)-1•(-8))=-2
A3,1=(-1)3+1
-87
4-2

3,1=(-8•(-2)-4•7)=-12
A3,2=(-1)3+2
67
-1-2

3,2=-(6•(-2)-(-1•7))=5
A3,3=(-1)3+3
6-8
-14

3,3=(6•4-(-1•(-8)))=16
Обратная матрица
A-1=1/-1
2-1-3
1-1-2
-12516

Вектор результатов X
X=A-1 • B
X=1/-1
2-1-3
1-1-2
-12516
·
2
5
3

X=1/-1
16*3)

X=1/-1
-10
-9
49

XT=(10,9,-49)
x1=-10 / -1=10
x2=-9 / -1=9
x3=49 / -1=-49
Проверка.
6•10+-1•9+1•-49=2
-8•10+4•9+-1•-49=5
7•10+-2•9+1•-49=3

Пример №5.Решение матричных уравнений.
Обозначим:

A =
3-1
5-2

B =
56
78

C =
1416
910

Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X·B = C.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 3*(-2) - 5*(-1) = -1
Определитель матрицы А равен detA=-1
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим слева обе части уравнения на A-1:Умножаем обе части этого равенства слева на A-1 и справа на B-1: A-1·A·X·B·B-1 = A-1·C·B-1. Так как A·A-1 = B·B-1 = E и E·X = X·E = X, то X = A-1·C·B-1
Найдем обратную матрицу A-1.
Транспонированная матрица AT.
AT =
35
-1-2

Алгебраические дополнения
A11 = (-1)1+1·-2 = -2; A12 = (-1)1+2·-1 = 1; A21 = (-1)2+1·5 = -5; A22 = (-1)2+2·3 = 3;
Обратная матрица A-1.
A-1 = 1/-1
-21
-53

Вычислим определитель матрицы B:
∆ = 5*8 - 7*6 = -2
Определитель матрицы B равен detB=-2
Найдем обратную матрицу B-1.
Транспонированная матрица BT.
BT =
57
68

Алгебраические дополнения:
A11 = (-1)1+1·8 = 8; A12 = (-1)1+2·6 = -6; A21 = (-1)2+1·7 = -7; A22 = (-1)2+2·5 = 5;
Обратная матрица B-1.
B-1 = 1/-2
8-6
-75

Матрицу X ищем по формуле: X = A-1·C·B-1
X = 1/-1
-21
-53
·
1416
910
· 1/-2
8-6
-75
=
12
34

Ответ:
X =
12
34
загрузка...