Классификация решений матричных уравнений

Вариантов записей матричных уравнений может быть достаточно много, однако, все их можно свести к двум видам:
  1. A·X = B
  2. Y·A = B
где A и B – заданные матрицы, причем A – невырожденная. Требуется найти матрицы X и Y. Данные матричные уравнения решаются с помощью онлайн-калькулятора. Далее покажем на примерах, как можно свести все варианты записи матричных выражений к двум классическим.

Перед изучением материала необходимо иметь представление об операциях над матрицами:

  • умножение матриц (A*B): соответствующие элементы матриц умножаем и складываем ;
  • сложение матриц (C+B): складываются соответствующие элементы матриц C и B ;
  • разница (вычитание) матриц (A-B): из каждого элемента матрицы A вычитается соответствующий элемент матрицы B ;
  • умножение матрицы на число (2*C): число умножается на каждый элемент матрицы ;

Пример 1. Решить матричные уравнения и сделать проверку.

Запишем данное матричное уравнение в матричной форме: A·X - B = 3C. Его можно записать как A·X = 3C + B. Найдем сумму матриц:

3C + B =
-12
2-2
-3-1

Обозначим:
A =
211
34-2
3-24

B =
-12
2-2
-3-1

Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 2*(4*4 - (-2)*(-2)) - 3*(1*4 - (-2)*1) + 3*(1*(-2) - 4*1) = -12
Определитель матрицы А равен detA=-12
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим слева обе части уравнения на A-1: A-1·A·X = A-1·B, тогда получим E·X = A-1·B, или X = A-1·B.
Найдем обратную матрицу A-1.
Транспонированная матрица AT.
AT =
233
14-2
1-24

Алгебраические дополнения
A1,1 = (-1)1+1
4-2
-24

1,1 = (4*4 - (-2)*(-2)) = 12
A1,2 = (-1)1+2
1-2
14

1,2 = -(1*4 - 1*(-2)) = -6
A1,3 = (-1)1+3
14
1-2

1,3 = (1*(-2) - 1*4) = -6
A2,1 = (-1)2+1
33
-24

2,1 = -(3*4 - (-2)*3) = -18
A2,2 = (-1)2+2
23
14

2,2 = (2*4 - 1*3) = 5
A2,3 = (-1)2+3
23
1-2

2,3 = -(2*(-2) - 1*3) = 7
A3,1 = (-1)3+1
33
4-2

3,1 = (3*(-2) - 4*3) = -18
A3,2 = (-1)3+2
23
1-2

3,2 = -(2*(-2) - 1*3) = 7
A3,3 = (-1)3+3
23
14

3,3 = (2*4 - 1*3) = 5
Обратная матрица A-1.
A-1 = 1/12
12-6-6
-1857
-1875

Матрицу Х ищем по формуле: X = A-1·B
X= 1/12
12-6-6
-1857
-1875
·
-12
2-2
-3-1
=
1/2-31/2
-7/1245/12
-15/1247/12

Ответ:
X =
1/2-31/2
-7/1245/12
-15/1247/12

Пример 2.

Данное выражение в матричной форме имеет вид: X·A - B = 2C. Преобразуем к виду: X·A = 2C + B или X·A = D, где D = 2C + B

Пример 3.

Пример 4.

Здесь имеем следующий тип матричного уравнения: A - X·B = 2C. Сводим его к типу X·B = A + 2C или X·B = D, где D = A + 2C.

A + 2C =
-51-4

Обозначим:
A =
322
231
113

B =
-51-4

Тогда матричное уравнение запишется в виде: Y·A = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 3*(3*3 - 1*1) - 2*(2*3 - 1*2) + 1*(2*1 - 3*2) = 12
Определитель матрицы А равен detA=12
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим справа обе части уравнения на A-1: X·A·A-1 = B·A-1, откуда находим, что X = B·A-1
Найдем обратную матрицу A-1.
Транспонированная матрица AT.
AT =
321
231
213

Алгебраические дополнения
A1,1 = (-1)1+1
31
13

1,1 = (3*3 - 1*1) = 8
A1,2 = (-1)1+2
21
23

1,2 = -(2*3 - 2*1) = -4
A1,3 = (-1)1+3
23
21

1,3 = (2*1 - 2*3) = -4
A2,1 = (-1)2+1
21
13

2,1 = -(2*3 - 1*1) = -5
A2,2 = (-1)2+2
31
23

2,2 = (3*3 - 2*1) = 7
A2,3 = (-1)2+3
32
21

2,3 = -(3*1 - 2*2) = 1
A3,1 = (-1)3+1
21
31

3,1 = (2*1 - 3*1) = -1
A3,2 = (-1)3+2
31
21

3,2 = -(3*1 - 2*1) = -1
A3,3 = (-1)3+3
32
23

3,3 = (3*3 - 2*2) = 5
Обратная матрица A-1.
A-1 = 1/12
8-4-4
-571
-1-15

Матрицу X ищем по формуле: X = B·A-1
X =
-51-4
1/12
8-4-4
-571
-1-15
=
-35/1227/121/12

Ответ:
X =
-35/1227/121/12

Пример 2.

Перейти к онлайн решению своей задачи

загрузка...