Решение методом обратной матрицы

Решить неоднородную систему линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы.
Пример №1. Решение получаем через сервис Метод обратной матрицы. Запишем матрицу в виде:
41-1
20-2
031

Главный определитель
∆=4•(0•1-3•(-2))-2•(1•1-3•(-1))+0•(1•(-2)-0•(-1))=16
Транспонированная матрица
AT=
420
103
-1-21

Алгебраические дополнения.
A1,1=(-1)1+1
03
-21

1,1=(0•1-(-2•3))=6
A1,2=(-1)1+2
13
-11

1,2=-(1•1-(-1•3))=-4
A1,3=(-1)1+3
10
-1-2

1,3=(1•(-2)-(-1•0))=-2
A2,1=(-1)2+1
20
-21

2,1=-(2•1-(-2•0))=-2
A2,2=(-1)2+2
40
-11

2,2=(4•1-(-1•0))=4
A2,3=(-1)2+3
42
-1-2

2,3=-(4•(-2)-(-1•2))=6
A3,1=(-1)3+1
20
03

3,1=(2•3-0•0)=6
A3,2=(-1)3+2
40
13

3,2=-(4•3-1•0)=-12
A3,3=(-1)3+3
42
10

3,3=(4•0-1•2)=-2
Обратная матрица
A-1=1/16
6-4-2
-246
6-12-2

A-1=
0,38-0,25-0,13
-0,130,250,38
0,38-0,75-0,13

Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.
E=A*A-1=
41-1
20-2
031
1/16
6-4-2
-246
6-12-2

E=A*A-1=

(4•6)+(1•(-2))+(-1•6) (4•(-4))+(1•4)+(-1•(-12)) (4•(-2))+(1•6)+(-1•(-2))
(2•6)+(0•(-2))+(-2•6) (2•(-4))+(0•4)+(-2•(-12)) (2•(-2))+(0•6)+(-2•(-2))
(0•6)+(3•(-2))+(1•6) (0•(-4))+(3•4)+(1•(-12)) (0•(-2))+(3•6)+(1•(-2))


=1/16
1600
0160
0016

A*A-1=
100
010
001

Пример №2. Решение матричных уравнений.
Обозначим:

A =
305
214
-130

B =
2-13
1-18
10-4

Тогда матричное уравнение запишется в виде: Y·A = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 3*(1*0 - 3*4) - 2*(0*0 - 3*5) + -1*(0*4 - 1*5) = -1
Определитель матрицы А равен detA=-1
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим справа обе части уравнения на A-1: X·A·A-1 = B·A-1, откуда находим, что X = B·A-1
Найдем обратную матрицу A-1.
Транспонированная матрица AT.
AT =
32-1
013
540

Алгебраические дополнения
A1,1 = (-1)1+1
13
40

1,1 = (1*0 - 4*3) = -12
A1,2 = (-1)1+2
03
50

1,2 = -(0*0 - 5*3) = 15
A1,3 = (-1)1+3
01
54

1,3 = (0*4 - 5*1) = -5
A2,1 = (-1)2+1
2-1
40

2,1 = -(2*0 - 4*(-1)) = -4
A2,2 = (-1)2+2
3-1
50

2,2 = (3*0 - 5*(-1)) = 5
A2,3 = (-1)2+3
32
54

2,3 = -(3*4 - 5*2) = -2
A3,1 = (-1)3+1
2-1
13

3,1 = (2*3 - 1*(-1)) = 7
A3,2 = (-1)3+2
3-1
03

3,2 = -(3*3 - 0*(-1)) = -9
A3,3 = (-1)3+3
32
01

3,3 = (3*1 - 0*2) = 3
Обратная матрица A-1.
A-1 = 1/-1
-1215-5
-45-2
7-93

Матрицу X ищем по формуле: X = B·A-1
X =
2-13
1-18
10-4
· 1/-1
-1215-5
-45-2
7-93
=
-12-1
-4862-21
40-5117

Ответ:
X =
-12-1
-4862-21
40-5117

Пример №3.Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

-2-16
1-12
24-3

Вектор B:
BT=(31,13,10)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=-2•(-1•(-3)-4•2)-1•(-1•(-3)-4•6)+2•(-1•2-(-1•6))=39
Итак, определитель 39 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:
A=
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33

Тогда:
A=1/∆ u
A11A21A31
A12A22A32
A13A23A33

где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица
AT=
-212
-1-14
62-3

Вычисляем алгебраические дополнения.
A1,1=(-1)1+1
-14
2-3

1,1=(-1•(-3)-2•4)=-5
A1,2=(-1)1+2
-14
6-3

1,2=-(-1•(-3)-6•4)=21
A1,3=(-1)1+3
-1-1
62

1,3=(-1•2-6•(-1))=4
A2,1=(-1)2+1
12
2-3

2,1=-(1•(-3)-2•2)=7
A2,2=(-1)2+2
-22
6-3

2,2=(-2•(-3)-6•2)=-6
A2,3=(-1)2+3
-21
62

2,3=-(-2•2-6•1)=10
A3,1=(-1)3+1
12
-14

3,1=(1•4-(-1•2))=6
A3,2=(-1)3+2
-22
-14

3,2=-(-2•4-(-1•2))=6
A3,3=(-1)3+3
-21
-1-1

3,3=(-2•(-1)-(-1•1))=3
Обратная матрица
A-1=1/39
-5214
7-610
663

Вектор результатов X
X=A-1 • B
X=1/39
-5214
7-610
663
·
31
13
10

X=1/39
3*10)

X=1/39
158
239
294

XT=(4.05,6.13,7.54)
x1=158 / 39=4.05
x2=239 / 39=6.13
x3=294 / 39=7.54
Проверка.
-2•4.05+-1•6.13+6•7.54=31
1•4.05+-1•6.13+2•7.54=13
2•4.05+4•6.13+-3•7.54=10

Пример №4.Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

-216
1-12
24-3

Вектор B:
BT=(31,13,10)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=-2•(-1•(-3)-4•2)-1•(1•(-3)-4•6)+2•(1•2-(-1•6))=53
Итак, определитель 53 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:
A=
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33

Тогда:
A=1/∆ u
A11A21A31
A12A22A32
A13A23A33

где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица
AT=
-212
1-14
62-3

Вычисляем алгебраические дополнения.
A1,1=(-1)1+1
-14
2-3

1,1=(-1•(-3)-2•4)=-5
A1,2=(-1)1+2
14
6-3

1,2=-(1•(-3)-6•4)=27
A1,3=(-1)1+3
1-1
62

1,3=(1•2-6•(-1))=8
A2,1=(-1)2+1
12
2-3

2,1=-(1•(-3)-2•2)=7
A2,2=(-1)2+2
-22
6-3

2,2=(-2•(-3)-6•2)=-6
A2,3=(-1)2+3
-21
62

2,3=-(-2•2-6•1)=10
A3,1=(-1)3+1
12
-14

3,1=(1•4-(-1•2))=6
A3,2=(-1)3+2
-22
14

3,2=-(-2•4-1•2)=10
A3,3=(-1)3+3
-21
1-1

3,3=(-2•(-1)-1•1)=1
Обратная матрица
A-1=1/53
-5278
7-610
6101

Вектор результатов X
X=A-1 • B
X=1/53
-5278
7-610
6101
·
31
13
10

X=1/53
1*10)

X=1/53
276
239
326

XT=(5.21,4.51,6.15)
x1=276 / 53=5.21
x2=239 / 53=4.51
x3=326 / 53=6.15
Проверка.
-2•5.21+1•4.51+6•6.15=31
1•5.21+-1•4.51+2•6.15=13
2•5.21+4•4.51+-3•6.15=10

Пример №5.Решение матричных уравнений.
Обозначим:

A =
23
1-3

B =
09
30

Тогда матричное уравнение запишется в виде: Y·A = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 2*(-3) - 1*3 = -9
Определитель матрицы А равен detA=-9
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим справа обе части уравнения на A-1: X·A·A-1 = B·A-1, откуда находим, что X = B·A-1
Найдем обратную матрицу A-1.
Транспонированная матрица AT.
AT =
21
3-3

Алгебраические дополнения
A11 = (-1)1+1·-3 = -3; A12 = (-1)1+2·3 = -3; A21 = (-1)2+1·1 = -1; A22 = (-1)2+2·2 = 2;
Обратная матрица A-1.
A-1 = 1/-9
-3-3
-12

Матрицу X ищем по формуле: X = B·A-1
X =
09
30
· 1/-9
-3-3
-12
=
1-2
11

Ответ:
X =
1-2
11

Перейти к онлайн решению своей задачи

загрузка...