Задания для контрольной работы
Задание 1 - 10. Даны  векторы  .  Показать, что векторы    образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора   в этом базисе:
Даны векторы ε1(3;1;6), ε2(-2;2;-3), ε3(-4;5;-1), X(3;0;1). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе. 
Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы  базис. Векторы  образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису. 
Вычислим определитель матрицы: 

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37 
Определитель матрицы равен ∆ =37 
Так как определитель отличен от нуля, то векторы  образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α1, α2, α3, что имеет место равенство: 
X = α1ε1 + α2ε2 + α3ε3 
Запишем данное равенство в координатной форме: 
(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1) 
Используя свойства векторов, получим следующее равенство: 
(3;0;1) = (3α1;1α1;6α1;) + (-2α2;2α2;-3α2;) + (-4α3;5α3;-1α3;) 
(3;0;1) = (3α1 -2α2 -4α3;1α1 + 2α2 + 5α3;6α1 -3α2 -1α3) 
По свойству равенства векторов имеем: 
3α1 -2α2 -4α3 = 3 
1α1 + 2α2 + 5α3 = 0 
6α1 -3α2 -1α3 = 1 
Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса или методом Крамера. 
Ответ: 

X = ε1 + 2ε2 -ε3 
 
Решение было получено и оформлено с помощью сервиса: 
Координаты вектора в базисе 
Вместе с этой задачей решают также: 
Решение матричных уравнений 
Метод Крамера 
Метод Гаусса 
Обратная матрица методом Жордано-Гаусса 
Обратная матрица через алгебраические дополнения 
Умножение матриц онлайн 
Copyright © Semestr.RU