Координаты вектора в базисе. 
 Даны векторы ε1(5;3;1), ε2(-2;-1;2), ε3(-2;1;4), X(3;0;1). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе. 
 Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы  базис. Векторы  образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису. 
 Вычислим определитель матрицы: 

 ∆ = 5*((-1)*4 - 1*2) - -2*(3*4 - 1*1) + -2*(3*2 - (-1)*1) = -22 
 Определитель матрицы равен ∆ =-22 
 Так как определитель отличен от нуля, то векторы  образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α1, α2, α3, что имеет место равенство: 
 X = α1ε1 + α2ε2 + α3ε3 
 Запишем данное равенство в координатной форме: 
 (3;0;1) = α(5;3;1) + α(-2;-1;2) + α(-2;1;4) 
 Используя свойства векторов, получим следующее равенство: 
 (3;0;1) = (5α1;3α1;1α1;) + (-2α2;-1α2;2α2;) + (-2α3;1α3;4α3;) 
 (3;0;1) = (5α1 -2α2 -2α3;3α1 -1α2 + 1α3;1α1 + 2α2 + 4α3) 
 По свойству равенства векторов имеем: 
 5α1 -2α2 -2α3 = 3 
 3α1 -1α2 + 1α3 = 0 
 1α1 + 2α2 + 4α3 = 1 
 Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса или методом Крамера. 
 Ответ: 

 X = ε1 + 2ε2 -ε3 
  
 Решение было получено и оформлено с помощью сервиса: 
 Координаты вектора в базисе 
 Вместе с этой задачей решают также: 
 Решение матричных уравнений 
 Метод Крамера 
 Метод Гаусса 
 Обратная матрица методом Жордано-Гаусса 
 Обратная матрица через алгебраические дополнения 
 Умножение матриц онлайн 
 Copyright © Semestr.RU