Нахождение обратной матрицы

Матрица А-1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А-1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц.

Назначение сервиса. С помощью данного сервиса в онлайн режиме можно найти алгебраические дополнения, транспонированную матрицу AT, союзную матрицу и обратную матрицу. Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word и в формате Excel (т.е. имеется возможность проверить решение). см. пример оформления.

Инструкция. Для получения решения необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполните матрицу A.
Размерность матрицы
см. также Обратная матрица методом Жордано-Гаусса

Алгоритм нахождения обратной матрицы

  1. Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
  2. Вычисление определителя матрицы A. Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе - обратной матрицы не существует.
  3. Нахождение транспонированной матрицы AT.
  4. Определение алгебраических дополнений. Заменяют каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.
  5. Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент полученной матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
  6. Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Следующий алгоритм нахождения обратной матрицы аналогичен предыдущему за исключением некоторых шагов: сначала вычисляются алгебраические дополнения, а затем определяется союзная матрица C.
  1. Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
  2. Вычисление определителя матрицы A. Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе - обратной матрицы не существует.
  3. Определение алгебраических дополнений.
  4. Заполнение союзной (взаимной, присоединённой) матрицы C.
  5. Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент присоединённой матрицы C делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
  6. Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Пример №1. Запишем матрицу в виде:

-12-2
2-15
3-24

Обратная матрица существует, если определитель матрицы A отличен от нуля. Найдем определитель матрицы:
∆ = -1 • (-1 • 4-(-2 • 5))-2 • (2 • 4-(-2 • (-2)))+3 • (2 • 5-(-1 • (-2))) = 10. Определитель равен 10 и не равен нулю. Продолжаем решение.
Найдем транспонированную матрицу:
AT =
-123
2-1-2
-254

Алгебраические дополнения.
A1,1 = (-1)1+1
-1-2
54

1,1 = (-1 • 4-5 • (-2)) = 6
A1,2 = (-1)1+2
2-2
-24

1,2 = -(2 • 4-(-2 • (-2))) = -4
A1,3 = (-1)1+3
2-1
-25

1,3 = (2 • 5-(-2 • (-1))) = 8
A2,1 = (-1)2+1
23
54

2,1 = -(2 • 4-5 • 3) = 7
A2,2 = (-1)2+2
-13
-24

2,2 = (-1 • 4-(-2 • 3)) = 2
A2,3 = (-1)2+3
-12
-25

2,3 = -(-1 • 5-(-2 • 2)) = 1
A3,1 = (-1)3+1
23
-1-2

3,1 = (2 • (-2)-(-1 • 3)) = -1
A3,2 = (-1)3+2
-13
2-2

3,2 = -(-1 • (-2)-2 • 3) = 4
A3,3 = (-1)3+3
-12
2-1

3,3 = (-1 • (-1)-2 • 2) = -3
Тогда обратную матрицу можно записать как:
A-1 = 1/10
6-48
721
-14-3

A-1 =
0,6-0,40,8
0,70,20,1
-0,10,4-0,3

Другой алгоритм нахождения обратной матрицы

Приведем другую схему нахождения обратной матрицы.
  1. Находим определитель данной квадратной матрицы A.
  2. Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A.
  3. Записываем алгебраические дополнения элементов строк в столбцы (транспонирование).
  4. Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы A.

Как видим, операция транспонирования может применяться как в начале, над исходной матрицей, так и в конце, над полученными алгебраическими дополнениями.

Особый случай: Обратной, по отношению к единичной матрице E, является единичная матрица E.

Пример №2. Найти матрицу, обратную матрице .
Решение.
1. Найдем .
2. Ищем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы A:
; ; .
Получили алгебраические дополнения элементов первой строки. Аналогично для элементов второй и третьей строк получаем:
; ; .
; ; .
Объединяя 3 и 4 пункты, получаем обратную матрицу
.
Для проверки убедимся, что A-1A = E.

загрузка...