Решение СЛАУ методом обратной матрицы

Назначение сервиса. С помощью данного онлайн-калькулятора вычисляются неизвестные {x1, x2, ..., xn} в системе уравнений. Решение осуществляется методом обратной матрицы. При этом:
  • вычисляется определитель матрицы A;
  • через алгебраические дополнения находится обратная матрица A-1;
  • осуществляется создание шаблона решения в Excel;
Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word (см. пример оформления).
Инструкция. Для получения решения методом обратной матрицы необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполнить матрицу A и вектор результатов B.
Количество переменных

Напомним, что решением системы линейных уравнений называется всякая совокупность чисел {x1, x2, ..., xn}, подстановка которых в эту систему вместо соответствующих неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество. Система линейных алгебраических уравнений обычно записывается как (для 3-х переменных):
2x1-3x2+x3 = 4
-x1+2x2+5x3 = 10
3x1-x2+3x3 = -1
или 2x-3y+z = 4
-z+2y+5z = 10
3x-y+3z = -1
См. также Решение матричных уравнений.

Алгоритм решения

  1. Вычисляется определитель матрицы A. Если определитель равен нулю, то конец решения. Система имеет бесконечное множество решений.
  2. При определителе отличном от нуля, через алгебраические дополнения находится обратная матрица A-1.
  3. Вектор решения X={x1, x2, ..., xn} получается умножением обратной матрицы на вектор результата B.

Пример. Найти решение системы матричным методом. Запишем матрицу в виде:
231
-210
12-2

Вектор B:
BT = (3,-2,-1)
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆ = 2•(1•(-2)-2•0)-(-2•(3•(-2)-2•1))+1•(3•0-1•1) = -21
Итак, определитель -21 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Транспонированная матрица
AT =
2-21
312
10-2

Алгебраические дополнения.
A1,1 = (-1)1+1
12
0-2
1,1 = (1•(-2)-0•2) = -2

A1,2 = (-1)1+2
32
1-2
1,2 = -(3•(-2)-1•2) = 8

A1,3 = (-1)1+3
31
10
1,3 = (3•0-1•1) = -1

A2,1 = (-1)2+1
-21
0-2
2,1 = -(-2•(-2)-0•1) = -4

A2,2 = (-1)2+2
21
1-2
2,2 = (2•(-2)-1•1) = -5

A2,3 = (-1)2+3
2-2
10
2,3 = -(2•0-1•(-2)) = -2

A3,1 = (-1)3+1
-21
12
3,1 = (-2•2-1•1) = -5

A3,2 = (-1)3+2
21
32
3,2 = -(2•2-3•1) = -1

A3,3 = (-1)3+3
2-2
31
3,3 = (2•1-3•(-2)) = 8

Обратная матрица:

A-1 = -1/21
-28-1
-4-5-2
-5-18

Вектор результатов X = A-1 • B
X = -1/21
-28-1
-4-5-2
-5-18
·
3
-2
-1

XT = (1,0,1)
x1 = -21 / -21 = 1
x2 = 0 / -21 = 0
x3 = -21 / -21 = 1
Проверка:
2•1+3•0+1•1 = 3
-2•1+1•0+0•1 = -2
1•1+2•0+-2•1 = -1
загрузка...