Пример нахождения обратной матрицы

Определение. Если A – квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая A-1 и удовлетворяющая условиям A·A-1=E, A-1·A=E, где E – единичная матрица.
Из этого определения следует, что если матрица A-1 является обратной для A, то и A будет обратной для A-1. Обратную матрицу имеет только квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. Такие матрицы называются невырожденными.

Рассмотрим на примерах практическое применение обратной матрицы.

Пример №1. В задачах дана невырожденная матрица A. Найти обратную матрицу A-1 и пользуясь правилом умножения матриц, показать, что A*A-1 = E, где E – единичная матрица.

Решение находим через калькулятор.
Находим определитель матрицы A.
Минор для (1,1):

 = 1∙(1∙1-0∙2)-0∙(2∙1-0∙(-3))+0∙(2∙2-1∙(-3))= 1
Минор для (2,1):

 = 3∙(1∙1-0∙2)-0∙(-5∙1-0∙7)+0∙(-5∙2-1∙7) = 3
Минор для (3,1):

 = 3∙(2∙1-0∙(-3))-1∙(-5∙1-0∙7)+0∙(-5∙(-3)-2∙7)= 11
Минор для (4,1):

 = 3∙(2∙2-1∙(-3))-1∙(-5∙2-1∙7)+0∙(-5∙(-3)-2∙7)= 38
Определитель равен
∆ = 1∙1-0∙3+0∙11-0∙38 = 1, следовательно, матрица является невырожденной и можно искать обратную матрицу.

Транспонированная матрица

Найдем алгебраические дополнения:

1,1 = 1∙(1∙1-2∙0)-2∙(0∙1-2∙0)+(-3∙(0∙0-1∙0))= 1

1,2 = -3∙(1∙1-2∙0)-(-5∙(0∙1-2∙0))+7∙(0∙0-1∙0)= -3

1,3 = 3∙(2∙1-(-3∙0))-(-5∙(1∙1-(-3∙0)))+7∙(1∙0-2∙0)= 11

1,4 = -3∙(2∙2-(-3∙1))-(-5∙(1∙2-(-3∙0)))+7∙(1∙1-2∙0)= -38

2,1 = -0∙(1∙1-2∙0)-2∙(0∙1-2∙0)+(-3∙(0∙0-1∙0))= 0

2,2 = 1∙(1∙1-2∙0)-(-5∙(0∙1-2∙0))+7∙(0∙0-1∙0)= 1

2,3 = -1∙(2∙1-(-3∙0))-(-5∙(0∙1-(-3∙0)))+7∙(0∙0-2∙0)= -2

2,4 = 1∙(2∙2-(-3∙1))-(-5∙(0∙2-(-3∙0)))+7∙(0∙1-2∙0)= 7

3,1 = 0∙(0∙1-2∙0)-1∙(0∙1-2∙0)+(-3∙(0∙0-0∙0))= 0

3,2 = -1∙(0∙1-2∙0)-3∙(0∙1-2∙0)+7∙(0∙0-0∙0)= 0

3,3 = 1∙(1∙1-(-3∙0))-3∙(0∙1-(-3∙0))+7∙(0∙0-1∙0)= 1

3,4 = -1∙(1∙2-(-3∙0))-3∙(0∙2-(-3∙0))+7∙(0∙0-1∙0)= -2

4,1 = -0∙(0∙0-1∙0)-1∙(0∙0-1∙0)+2∙(0∙0-0∙0)= 0

4,2 = 1∙(0∙0-1∙0)-3∙(0∙0-1∙0)+(-5∙(0∙0-0∙0))= 0

4,3 = -1∙(1∙0-2∙0)-3∙(0∙0-2∙0)+(-5∙(0∙0-1∙0))= 0

4,4 = 1∙(1∙1-2∙0)-3∙(0∙1-2∙0)+(-5∙(0∙0-1∙0))= 1
Обратная матрица


Пример 2:xml:xls

Пример №2. Обратная матрица используется при нахождении величины валовой продукции отрасли Xi: X = (E - A)-1Y при построении межотраслевой баланса.

Пример №3. Использование операции с обратной матрицей в двойственной задаче линейного программирования позволяет определить двойственные оценки.

загрузка...