Пример решений методом обратной матрицы

Задание 1. Решить СЛАУ методом обратной матрицы.
2 x 1 + 3x2 + 3x3+ x4= 1
3 x 1 + 5x2 + 3x3+ 2x4= 2
5 x 1 + 7x2 + 6x3+ 2x4= 3
4 x 1 + 4x2 + 3x3+ x4= 4

Решение находим с помощью калькулятора. Запишем матрицу в виде:

Вектор B:
BT = (1,2,3,4)
Главный определитель
Минор для (1,1):

 = 5•(6•1-3•2)-7•(3•1-3•2)+4•(3•2-6•2) = -3
Минор для (2,1):

 = 3•(6•1-3•2)-7•(3•1-3•1)+4•(3•2-6•1) = 0
Минор для (3,1):

 = 3•(3•1-3•2)-5•(3•1-3•1)+4•(3•2-3•1) = 3
Минор для (4,1):

 = 3•(3•2-6•2)-5•(3•2-6•1)+7•(3•2-3•1) = 3
Определитель минора
∆ = 2•(-3)-3•0+5•3-4•3 = -3

Транспонированная матрица

Алгебраические дополнения

1,1 = 5•(6•1-2•3)-3•(7•1-2•4)+2•(7•3-6•4) = -3

1,2 = -3•(6•1-2•3)-3•(7•1-2•4)+1•(7•3-6•4) = 0

1,3 = 3•(3•1-2•3)-3•(5•1-2•4)+1•(5•3-3•4) = 3

1,4 = -3•(3•2-2•6)-3•(5•2-2•7)+1•(5•6-3•7) = -3

2,1 = -3•(6•1-2•3)-3•(5•1-2•4)+2•(5•3-6•4) = 9

2,2 = 2•(6•1-2•3)-3•(5•1-2•4)+1•(5•3-6•4) = 0

2,3 = -2•(3•1-2•3)-3•(3•1-2•4)+1•(3•3-3•4) = -6

2,4 = 2•(3•2-2•6)-3•(3•2-2•5)+1•(3•6-3•5) = 3

3,1 = 3•(7•1-2•4)-5•(5•1-2•4)+2•(5•4-7•4) = -4

3,2 = -2•(7•1-2•4)-3•(5•1-2•4)+1•(5•4-7•4) = 1

3,3 = 2•(5•1-2•4)-3•(3•1-2•4)+1•(3•4-5•4) = 1

3,4 = -2•(5•2-2•7)-3•(3•2-2•5)+1•(3•7-5•5) = 0

4,1 = -3•(7•3-6•4)-5•(5•3-6•4)+3•(5•4-7•4) = -12

4,2 = 2•(7•3-6•4)-3•(5•3-6•4)+3•(5•4-7•4) = -3

4,3 = -2•(5•3-3•4)-3•(3•3-3•4)+3•(3•4-5•4) = 9

4,4 = 2•(5•6-3•7)-3•(3•6-3•5)+3•(3•7-5•5) = -3
Обратная матрица

Вектор результатов X
X = A-1 ∙ B


XT = (2,-1,-0.33,1)
x1 = 2
x2 = -1
x3 = -0.33
x4 = 1

см. также решений СЛАУ методом обратной матрицы online. Для этого введите свои данные и получите решение с подробными комментариями.

Задание 2. Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы. Сделать проверку полученного решения.
Решение:xml:xls

Пример 2. Записать систему уравнений в матричной форме и решить с помощью обратной матрицы.
Решение:xml:xls

Пример. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти ее решение с помощью формул Крамера; 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления.
Методические рекомендации. После решения методом Крамера, найдите кнопку "Решение методом обратной матрицы для исходных данных". Вы получите соответствующее решение. Таким образом, данные вновь заполнять не придется.
Решение. Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

-130
3-21
21-1

Вектор B:
BT=(4,-3,-3)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=-1•(-2•(-1)-1•1)-3•(3•(-1)-1•0)+2•(3•1-(-2•0))=14
Итак, определитель 14 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:
A=
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33

Тогда:
A=1/∆
A11A21A31
A12A22A32
A13A23A33

где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица
AT=
-132
3-21
01-1

Вычисляем алгебраические дополнения.
A1,1=(-1)1+1
-21
1-1

1,1=(-2•(-1)-1•1)=1
A1,2=(-1)1+2
31
0-1

1,2=-(3•(-1)-0•1)=3
A1,3=(-1)1+3
3-2
01

1,3=(3•1-0•(-2))=3
A2,1=(-1)2+1
32
1-1

2,1=-(3•(-1)-1•2)=5
A2,2=(-1)2+2
-12
0-1

2,2=(-1•(-1)-0•2)=1
A2,3=(-1)2+3
-13
01

2,3=-(-1•1-0•3)=1
A3,1=(-1)3+1
32
-21

3,1=(3•1-(-2•2))=7
A3,2=(-1)3+2
-12
31

3,2=-(-1•1-3•2)=7
A3,3=(-1)3+3
-13
3-2

3,3=(-1•(-2)-3•3)=-7
Обратная матрица
A-1=1/14
133
511
77-7

Вектор результатов X
X=A-1 • B
X=1/14
133
511
77-7
·
4
-3
-3

X=1/14
-3))

X=1/14
-14
14
28

XT=(-1,1,2)
x1=-14 / 14=-1
x2=14 / 14=1
x3=28 / 14=2
Проверка.
-1•-1+3•1+0•2=4
3•-1+-2•1+1•2=-3
2•-1+1•1+-1•2=-3
doc:xml:xls
Ответ: -1,1,2.

см. также примеры здесь и здесь.

Перейти к онлайн решению своей задачи

загрузка...