Решение матричных уравнений

Предварительно рекомендуется изучить основные действия над матрицами.

Даны матричные уравнения

A·X = B, (1)
Y·A = B, (2)
где A и B – заданные матрицы, причем A – невырожденная. Требуется найти матрицы X и Y.
Нельзя ли определить деление матриц?
Вспомним, что в числовой области частное от деления b на a определяется как решение уравнения a∙x=b (или x∙a=b) и существует не всегда. Можно попытаться определить «деление» матриц, рассматривая уравнения (1) и (2), в которых, согласно правилу умножения, матрицы A, B, X, Y не могут иметь произвольную структуру. Так, в первом уравнении матрицы A и B должны иметь одинаковое число строк, а во втором – одинаковое число столбцов. Уже отсюда ясно, что если даже оба эти уравнения однозначно разрешимы (а это далеко не всегда так), то их решения вполне могут быть матрицами не только разными, но и разной структуры. Таким образом, для матриц оказывается невозможным определить деление с привычными свойствами.
Матричные уравнения вида (1) и (2) решаются следующим образом. Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим слева обе части уравнения (1) на A-1: A-1·A·X = A-1·B, тогда получим E·X = A-1·B, или
X = A-1·B. (3)
Аналогично, умножая справа обе части равенства (2) на A-1, будем иметь: Y·A· A-1 = B· A-1, откуда находим, что
Y = B· A-1. (4)

Пример 1. Решить матричное уравнение .
Решение. Обозначим , . Тогда матричное уравнение запишется в виде A·X = B. Найдем A-1: ; A11 = 4; A21 = -3; A12 = -2; A22 = 1, . Воспользуемся формулой (3): .

Пример 2. Решить матричное уравнение .
Решение. (в силу пропорциональности строк), т.е. матрица A – вырожденная, следовательно уравнение решения не имеет.
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Данное уравнение записываем в виде A∙X∙B = C. Умножаем обе части этого равенства слева на A-1 и справа на B-1: A-1∙A∙X∙B∙B-1 = A-1∙C∙B-1. Так как A∙A-1 = B∙B-1 = E и E∙X = X∙E = X, то X = A-1∙C∙B-1.
Находим обратные матрицы , , тогда

.
Проверка.
.

Перейти к онлайн решению своей задачи Пример 6:xml

загрузка...