Метод бисекции

Задача по теме “Решение нелинейных уравнений”.

Пример №1. Методом бисекции найти решение нелинейного уравнения на отрезке [a,b] с точностью ε = 10-2. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью ε = 10-4. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности число итераций.
sqrt(t)+x2 = 10, a = 2.6, b = 3

Найдем корни уравнения:

Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии)..
Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод дихотомии заключается в следующем.
Определяем половину отрезка c=1/2(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:
1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε - заданная точность.
2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a,c].
3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке[c,b].
Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ.
Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен:
bn-an=1/2n(b-a)
В качестве корня ξ. возьмем 1/2(an+bn). Тогда погрешность определения корня будет равна (bn – an)/2. Если выполняется условие:
(bn – an)/2 < ε
то процесс поиска заканчивается и ξ = 1/2(an+bn).
Решение.
Поскольку F(2.6)*F(3)<0, то корень лежит в пределах [2.6;3].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (2.6 + 3)/2 = 2.8
F(x) = -0.487
F(c) = -1.628
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=2.8
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (2.8 + 3)/2 = 2.9
F(x) = 0.113
F(c) = -0.487
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=2.9
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (2.8 + 2.9)/2 = 2.85
F(x) = -0.189
F(c) = 0.113
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=2.85
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (2.8 + 2.85)/2 = 2.825
F(x) = -0.339
F(c) = -0.189
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=2.825
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N c a b f(c) f(x)
1 2.6 3 2.8 -1.6275 -0.4867
2 2.8 3 2.9 -0.4867 0.1129
3 2.8 2.9 2.85 0.1129 -0.1893
4 2.8 2.85 2.825 -0.1893 -0.3386
5 2.825 2.85 2.8375 -0.3386 -0.2641
6 2.8375 2.85 2.8438 -0.2641 -0.2267


Ответ:
x = 2.8438; F(x) = -0.2267
Количество итераций, N = 6
Параметр сходимости.


Решение было получено и оформлено с помощью сервиса Метод Ньютона онлайн

Пример №2. Локализовать корень нелинейного уравнения f(x) = 0 и найти его методом бисекции с точностью ε1 = 0,01. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации  с точностью ε2 = 0,0001. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности ε2 число итераций.

загрузка...