Матрица Гессе. Примеры решений

При решении примеров был использован калькулятор Матрица Гессе.

Пример №1. Является ли функция f(x) = x1+2*x1*x2+4*x2 выпуклой, вогнутой?
Решение. 1. Найдем частные производные.

2. Решим систему уравнений.
2•x2+1 = 0
2•x1+4 = 0
Получим:
Количество критических точек равно 2.
M1(0;-1/2), M2(-2;0)
3. Найдем частные производные второго порядка.



4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).
Вычисляем значения для точки M1(0;-1/2)



Строим матрицу Гессе:

02
20

D1 = a11 = 0, то вопрос о вогнутости или выпуклости функции остается открытым.
Вычисляем значения для точки M2(-2;0)



Строим матрицу Гессе:
02
20

D1 = a11 = 0, то вопрос о вогнутости или выпуклости функции остается открытым.

Пример №2. Выяснить, является ли функция выпуклой в пространстве R2.
Решение. Запишем матрицу Гессе – матрицу вторых производных:

Угловые миноры равны:


Таким образом, D1> 0, D2 > 0 при всех значениях , т.е. функция f(x) выпукла.

загрузка...