Условия Куна-Таккера. Пример решения

Пример №2.
f(x) = (x1-1)2 + x22 → min
g1(x) = -x1 + x2/5 ≥ 0
Найти точку минимума x*.

Решение: Запишем условия Куна–Таккера для данной задачи:

Из второго уравнения получим x2=0; подставим в третье уравнение, найдем x1=0. Тогда из первого уравнения следует μ=2. Таким образом, мы нашли точку x*=[0;0], которая может быть точкой минимума. Для этой точки ограничение g1(x*)=0, т. е. активно. Проверим выполнение условия: . Условие будет выполнено для всех векторов y вида y=[0;y2]. Действительно, имеем:
, т. е. y1=0.
Матрица Гессе функции L в точке (x*, μ*) имеет вид:
,
т. е. матрица HL положительно определена и, следовательно, для любого вектора y≠0 имеем yTHL(x**)y>0, в том числе и для вектора вида y=[0;y2].
Таким образом, точка x*=[0;0] является точкой строгого локального минимума.
Заметим, что если мы воспользуемся необходимыми и достаточными условиями первого порядка, то не сможем дать заключение о том, что точка x*=[0;0] является решением задачи, так как не выполняется одно из условий теоремы – условие вогнутости функции g1(x).
Матрица Гессе не является отрицательно определенной, и поэтому g1(x) не является вогнутой.

загрузка...