Найдем корни уравнения:
x5+((1-1•cos(100•x))/2)+-1/2(x/2)-1 = 0
Используем для этого Метод секущих.
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 20•x3+(2•x)/(x2+4)^2+5000•cos(100•x)
Если итерации xn и xn+1 расположены достаточно близко друг к другу, то производную f’(xn) в алгоритме Ньютона можно заменить ее приближенным значением:

Таким образом, из формулы метода Ньютона получим формулу секущих:

Геометрический смысл такого изменения алгоритма Ньютона состоит в том, что от аппроксимации f(x) касательной мы переходим к секущей.
Останов: |xn+1-xn|< ε, где ε - заданная точность.
Метод секущих уступает методу Ньютона в скорости сходимости, однако не требует вычисления производной функции f(x).
Исходный интервал: [-2; 1].
Корень лежит в пределах [-1.1;-0.8].
Вычисляем значения функций в точке a = -1.1.
f(-1.1) = -0.611
f ''(-1.1) = -26.62
Поскольку f(a)•f ''(a) > 0, то x0 = a = -1.1
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h' = (x-xn-1) / (f(x) - f(xn-1))	h = f(x)*h'	
1	-1.1	-0.611	0.569	-0.347	

Ответ: x = -0.75252106; F(x) = -0.236
Корень лежит в пределах [-0.8;-0.5].
Вычисляем значения функций в точке a = -0.8.
f(-0.8) = 0.2275
f ''(-0.8) = -10.24
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = -0.5
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h' = (x-xn-1) / (f(x) - f(xn-1))	h = f(x)*h'	
1	-0.5	-0.0137	4.139	-0.0568	

Ответ: x = -0.44316308; F(x) = 0.0105
Корень лежит в пределах [-0.5;-0.2].
Вычисляем значения функций в точке a = -0.5.
f(-0.5) = -0.0137
f ''(-0.5) = -2.5
Поскольку f(a)•f ''(a) > 0, то x0 = a = -0.5
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h' = (x-xn-1) / (f(x) - f(xn-1))	h = f(x)*h'	
1	-0.5	-0.0137	0.504	-0.0069	
2	-0.493	0.183	0.335	0.0613	

Ответ: x = -0.55435682; F(x) = 0.2267

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения