Найдем корни уравнения:
tan(2.5•x)-5•x = 0
Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии)..
Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод дихотомии заключается в следующем.
Определяем половину отрезка c=1/2(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:
1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε - заданная точность.
2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a,c].
3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке[c,b].
Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ.
Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен:
bn-an=1/2n(b-a)
В качестве корня ξ. возьмем 1/2(an+bn). Тогда погрешность определения корня будет равна (bn – an)/2. Если выполняется условие:
(bn – an)/2 < ε
то процесс поиска заканчивается и ξ = 1/2(an+bn).
Исходный интервал: [-.4; .6].
Корень лежит в пределах [0.4;0.5].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (0.4 + 0.5)/2 = 0.45
F(c) = -0.1574
F(x) = -0.4426
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=0.45
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (0.45 + 0.5)/2 = 0.475
F(c) = 0.1049
F(x) = -0.1574
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=0.475
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (0.45 + 0.475)/2 = 0.4625
F(c) = -0.04
F(x) = -0.1574
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=0.4625
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (0.4625 + 0.475)/2 = 0.4688
F(c) = 0.0286
F(x) = -0.04
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=0.4688
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	0.45	0.4	0.5	-0.157	-0.157	
2	0.475	0.45	0.5	-0.157	0.105	
3	0.463	0.45	0.475	-0.04	-0.04	
4	0.469	0.463	0.475	-0.04	0.0286	
5	0.466	0.463	0.469	-0.0066	-0.0066	
6	0.467	0.466	0.469	-0.0066	0.0108	
7	0.466	0.466	0.467	-0.0066	0.002	

Ответ:
x = 0.466; F(x) = 0.002
Количество итераций, N = 7
Параметр сходимости.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения