Найдем корни уравнения:
x2-18 = 0
Используем для этого Модифицированный метод Ньютона.
Находим первую производную:
dF/dx = 2•x
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 2
Модификация метода Ньютона заключается в замене производной f’(xn) в точке xn в формуле:

на производную f’(x0) в точке x0, т.е. полагаем f’(xn)=f’(x0). В результате получим:

Геометрически этот способ означает, что мы заменяем касательные в точках Bn прямыми, параллельными касательной к кривой y=f(x) в точке B0.
Здесь не надо вычислять каждый раз производную f’(xn).
Исходный интервал: [-10; 10].
Корень лежит в пределах [-6;-4].
Вычисляем значения функций в точке a = -6.
f(-6) = 18
f ''(-6) = 2
Поскольку f(a)•f ''(a) > 0, то x0 = a = -6
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x0)	h = f(x) / f '(x0)	
1	-6	18	-12	-1.5	
2	-4.5	2.25	-12	-0.188	
3	-4.313	0.598	-12	-0.0498	
4	-4.263	0.171	-12	-0.0142	
5	-4.248	0.0496	-12	-0.0041	
6	-4.244	0.0145	-12	-0.0012	
7	-4.243	0.0042	-12	-0.0004	

Ответ: x = -4.243 - 0.004 / 0.001 = -4.24278710; F(x) = 0.0012
Корень лежит в пределах [4;6].
Вычисляем значения функций в точке a = 4.
f(4) = -2
f ''(4) = 2
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 6
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x0)	h = f(x) / f '(x0)	
1	6	18	12	1.5	
2	4.5	2.25	12	0.188	
3	4.313	0.598	12	0.0498	
4	4.263	0.171	12	0.0142	
5	4.248	0.0496	12	0.0041	
6	4.244	0.0145	12	0.0012	
7	4.243	0.0042	12	0.0004	

Ответ: x = 4.243 - 0.004 / 0.001 = 4.24278710; F(x) = 0.0012

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения