Найдем корни уравнения:
sin(x) = 0
Используем для этого Метод хорд.
Находим первую производную:
dF/dx = 2•x•cos(x)
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 2•(cos(x)-2•x2•sin(x))
Рассмотрим более быстрый способ нахождения корня на интервале [a,b], в предположении, что f(a)f(b)<0.
Уравнение хорды:

В точке x=x1, y=0, в результате получим первое приближение корня

Проверяем условия:
1. f(x1)f(b)<0,
2. f(x1)f(a)<0.
Если выполняется условие (1), то в формуле точку a заменяем на x1, получим:

Продолжая этот процесс, получим для n-го приближения:

Пусть f(xi)f(a)<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x1. Здесь выполняется f(x1)f(a)<0. Затем вводим b1=x1 (в формуле точку b заменяем на x1), получим:

Продолжая процесс, придем к формуле:

Останов процесса:
|xn – xn-1|< ε, ξ = xn.
Исходный интервал: [0; 2].
Корень лежит в пределах [1.6;1.8].
Вычисляем значения функций в точке a = 1.6.
f(1.6) = 0.5494
f ''(1.6) = 2
Поскольку f(a)•f ''(a) > 0, то x0 = a = 1.6
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h = F(x)*(x-a)/(f(x)-f(a))	
1	1.8	-0.0982	1.77	
2	1.77	0.0099	1.773	
3	1.773	-0.0011	1.772	
4	1.772	0.0001	1.772	

Ответ: x = 1.77245790; F(x) = -0

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения