Найдем корни уравнения:
x3-2•x2-5•x+6 = 0
Используем для этого Метод Ньютона.
Находим первую производную:
dF/dx = 3•x2-4•x-5
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 6•x-4
Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня xn-1. Тогда n-ое приближение xn мы можем получить следующим образом. Положим:
xn = xn-1 + hn-1
Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке xn-1, получим:
f(xn) = f(xn-1+hn-1) = f(xn-1) + f’(xn-1)hn-1=0
Отсюда следует:

Подставим hn-1 в формулу, получим:

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой.
Исходный интервал: [-2; 2].
Корень лежит в пределах [0.8;1.2].
Вычисляем значения функций в точке a = 0.8.
f(0.8) = 1.232
f ''(0.8) = 0.8
Поскольку f(a)•f ''(a) > 0, то x0 = a = 0.8
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f '(x)	
1	0.8	1.232	-6.28	-0.196	
2	0.996	0.0229	-6.008	-0.0038	
3	1	0	-6	0	

Ответ: x = 1 - 0 / -6 = 0.99999758; F(x) = 0

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения