Найдем корни уравнения:
x2-3+0.5^x = 0
Используем для этого Метод секущих.
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 0.2402265^x+2
Если итерации xn и xn+1 расположены достаточно близко друг к другу, то производную f’(xn) в алгоритме Ньютона можно заменить ее приближенным значением:

Таким образом, из формулы метода Ньютона получим формулу секущих:

Геометрический смысл такого изменения алгоритма Ньютона состоит в том, что от аппроксимации f(x) касательной мы переходим к секущей.
Останов: |xn+1-xn|< ε, где ε - заданная точность.
Метод секущих уступает методу Ньютона в скорости сходимости, однако не требует вычисления производной функции f(x).
Исходный интервал: [-10; 10].
Корень лежит в пределах [-2;0].
Вычисляем значения функций в точке a = -2.
f(-2) = 1
f ''(-2) = 0.2402
Поскольку f(a)•f ''(a) > 0, то x0 = a = -2
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h' = (x-xn-1) / (f(x) - f(xn-1))	h = f(x)*h'	
1	-2	1	-2	-2	
2	0	-3	2	-6	

Ответ: x = 6.00000000; F(x) = 33
Корень лежит в пределах [0;2].
Вычисляем значения функций в точке a = 0.
f(0) = -3
f ''(0) = 0.2402
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 2
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h' = (x-xn-1) / (f(x) - f(xn-1))	h = f(x)*h'	
1	2	1	0.4	0.4	
2	1.6	-0.44	0.348	-0.153	
3	1.753	0.0732	0.258	0.0189	
4	1.734	0.0073	0.205	0.0015	

Ответ: x = 1.73266123; F(x) = 0.0021

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения