Найдем корни уравнения:
sin(x)-0.2•x = 0
Используем для этого Метод Ньютона.
Находим первую производную:
dF/dx = cos(x)-0.2
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 01•sin(x)
Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня xn-1. Тогда n-ое приближение xn мы можем получить следующим образом. Положим:
xn = xn-1 + hn-1
Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке xn-1, получим:
f(xn) = f(xn-1+hn-1) = f(xn-1) + f’(xn-1)hn-1=0
Отсюда следует:

Подставим hn-1 в формулу, получим:

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой.
Исходный интервал: [2.59; 2.6].
Корень лежит в пределах [2.595;2.596].
Вычисляем значения функций в точке a = 2.6.
f(2.6) = 0.0008
f ''(2.6) = 0.5198
Поскольку f(a)•f ''(a) > 0, то x0 = a = 2.6
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f '(x)	

Ответ: x = 0 - 0 / 0 = 2.595; F(x) = 0.0008

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения