Найдем корни уравнения:
cos(x)^3+sin(x)+1(x)^4+log(x)^2 = 0
Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии)..
Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод дихотомии заключается в следующем.
Определяем половину отрезка c=1/2(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:
1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε - заданная точность.
2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a,c].
3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке[c,b].
Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ.
Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен:
bn-an=1/2n(b-a)
В качестве корня ξ. возьмем 1/2(an+bn). Тогда погрешность определения корня будет равна (bn – an)/2. Если выполняется условие:
(bn – an)/2 < ε
то процесс поиска заканчивается и ξ = 1/2(an+bn).
Исходный интервал: [-10; 10].
Корень лежит в пределах [-8;-6].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (-8 + -6)/2 = -7
F(c) = 0.7539
F(x) = -0.1455
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-7
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (-8 + -7)/2 = -7.5
F(c) = 0.3466
F(x) = -0.1455
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-7.5
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (-8 + -7.5)/2 = -7.75
F(c) = 0.1038
F(x) = -0.1455
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-7.75
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (-8 + -7.75)/2 = -7.875
F(c) = -0.021
F(x) = -0.1455
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-7.875
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	-7	-8	-6	-0.146	0.754	
2	-7.5	-8	-7	-0.146	0.347	
3	-7.75	-8	-7.5	-0.146	0.104	
4	-7.875	-8	-7.75	-0.021	-0.021	
5	-7.813	-7.875	-7.75	-0.021	0.0415	
6	-7.844	-7.875	-7.813	-0.021	0.0102	
7	-7.859	-7.875	-7.844	-0.0054	-0.0054	
8	-7.852	-7.859	-7.844	-0.0054	0.0024	
9	-7.855	-7.859	-7.852	-0.0015	-0.0015	
10	-7.854	-7.855	-7.852	-0.0015	0.0005	
11	-7.854	-7.855	-7.854	-0.0005	-0.0005	

Ответ:
x = -7.854; F(x) = -0.0005
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.

Корень лежит в пределах [-6;-4].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (-6 + -4)/2 = -5
F(c) = 0.2837
F(x) = 0.9602
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-5
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (-5 + -4)/2 = -4.5
F(c) = -0.2108
F(x) = 0.2837
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-4.5
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (-5 + -4.5)/2 = -4.75
F(c) = 0.0376
F(x) = 0.2837
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-4.75
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (-4.75 + -4.5)/2 = -4.625
F(c) = -0.0873
F(x) = 0.0376
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-4.625
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	-5	-6	-4	0.284	0.284	
2	-4.5	-5	-4	0.284	-0.211	
3	-4.75	-5	-4.5	0.0376	0.0376	
4	-4.625	-4.75	-4.5	0.0376	-0.0873	
5	-4.688	-4.75	-4.625	0.0376	-0.0249	
6	-4.719	-4.75	-4.688	0.0064	0.0064	
7	-4.703	-4.719	-4.688	0.0064	-0.0093	
8	-4.711	-4.719	-4.703	0.0064	-0.0015	
9	-4.715	-4.719	-4.711	0.0025	0.0025	
10	-4.713	-4.715	-4.711	0.0005	0.0005	
11	-4.712	-4.713	-4.711	0.0005	-0.0005	

Ответ:
x = -4.712; F(x) = -0.0005
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.

Корень лежит в пределах [-2;0].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (-2 + 0)/2 = -1
F(c) = 0.5403
F(x) = -0.4161
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-1
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (-2 + -1)/2 = -1.5
F(c) = 0.0707
F(x) = -0.4161
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-1.5
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (-2 + -1.5)/2 = -1.75
F(c) = -0.1782
F(x) = -0.4161
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-1.75
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (-1.75 + -1.5)/2 = -1.625
F(c) = -0.0542
F(x) = -0.1782
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-1.625
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	-1	-2	0	-0.416	0.54	
2	-1.5	-2	-1	-0.416	0.0707	
3	-1.75	-2	-1.5	-0.178	-0.178	
4	-1.625	-1.75	-1.5	-0.0542	-0.0542	
5	-1.563	-1.625	-1.5	-0.0542	0.0083	
6	-1.594	-1.625	-1.563	-0.023	-0.023	
7	-1.578	-1.594	-1.563	-0.0073	-0.0073	
8	-1.57	-1.578	-1.563	-0.0073	0.0005	
9	-1.574	-1.578	-1.57	-0.0034	-0.0034	
10	-1.572	-1.574	-1.57	-0.0015	-0.0015	
11	-1.571	-1.572	-1.57	-0.0005	-0.0005	

Ответ:
x = -1.571; F(x) = -0.0005
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.

Корень лежит в пределах [0;2].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (0 + 2)/2 = 1
F(c) = 0.5403
F(x) = 1
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=1
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (1 + 2)/2 = 1.5
F(c) = 0.0707
F(x) = 0.5403
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=1.5
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (1.5 + 2)/2 = 1.75
F(c) = -0.1782
F(x) = 0.0707
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=1.75
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (1.5 + 1.75)/2 = 1.625
F(c) = -0.0542
F(x) = 0.0707
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=1.625
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	1	0	2	0.54	0.54	
2	1.5	1	2	0.0707	0.0707	
3	1.75	1.5	2	0.0707	-0.178	
4	1.625	1.5	1.75	0.0707	-0.0542	
5	1.563	1.5	1.625	0.0083	0.0083	
6	1.594	1.563	1.625	0.0083	-0.023	
7	1.578	1.563	1.594	0.0083	-0.0073	
8	1.57	1.563	1.578	0.0005	0.0005	
9	1.574	1.57	1.578	0.0005	-0.0034	
10	1.572	1.57	1.574	0.0005	-0.0015	
11	1.571	1.57	1.572	0.0005	-0.0005	

Ответ:
x = 1.571; F(x) = -0.0005
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.

Корень лежит в пределах [4;6].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (4 + 6)/2 = 5
F(c) = 0.2837
F(x) = -0.6536
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=5
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (4 + 5)/2 = 4.5
F(c) = -0.2108
F(x) = -0.6536
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=4.5
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (4.5 + 5)/2 = 4.75
F(c) = 0.0376
F(x) = -0.2108
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=4.75
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (4.5 + 4.75)/2 = 4.625
F(c) = -0.0873
F(x) = -0.2108
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=4.625
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	5	4	6	-0.654	0.284	
2	4.5	4	5	-0.211	-0.211	
3	4.75	4.5	5	-0.211	0.0376	
4	4.625	4.5	4.75	-0.0873	-0.0873	
5	4.688	4.625	4.75	-0.0249	-0.0249	
6	4.719	4.688	4.75	-0.0249	0.0064	
7	4.703	4.688	4.719	-0.0093	-0.0093	
8	4.711	4.703	4.719	-0.0015	-0.0015	
9	4.715	4.711	4.719	-0.0015	0.0025	
10	4.713	4.711	4.715	-0.0015	0.0005	
11	4.712	4.711	4.713	-0.0005	-0.0005	

Ответ:
x = 4.712; F(x) = -0.0005
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.

Корень лежит в пределах [6;8].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (6 + 8)/2 = 7
F(c) = 0.7539
F(x) = 0.9602
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=7
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (7 + 8)/2 = 7.5
F(c) = 0.3466
F(x) = 0.7539
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=7.5
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (7.5 + 8)/2 = 7.75
F(c) = 0.1038
F(x) = 0.3466
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=7.75
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (7.75 + 8)/2 = 7.875
F(c) = -0.021
F(x) = 0.1038
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=7.875
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	7	6	8	0.754	0.754	
2	7.5	7	8	0.347	0.347	
3	7.75	7.5	8	0.104	0.104	
4	7.875	7.75	8	0.104	-0.021	
5	7.813	7.75	7.875	0.0415	0.0415	
6	7.844	7.813	7.875	0.0102	0.0102	
7	7.859	7.844	7.875	0.0102	-0.0054	
8	7.852	7.844	7.859	0.0024	0.0024	
9	7.855	7.852	7.859	0.0024	-0.0015	
10	7.854	7.852	7.855	0.0005	0.0005	
11	7.854	7.854	7.855	0.0005	-0.0005	

Ответ:
x = 7.854; F(x) = -0.0005
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения