Найдем корни уравнения:
sin(x) = 0
Используем для этого Модифицированный метод Ньютона.
Находим первую производную:
dF/dx = 2•x•cos(x)
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 2•(cos(x)-2•x2•sin(x))
Модификация метода Ньютона заключается в замене производной f’(xn) в точке xn в формуле:

на производную f’(x0) в точке x0, т.е. полагаем f’(xn)=f’(x0). В результате получим:

Геометрически этот способ означает, что мы заменяем касательные в точках Bn прямыми, параллельными касательной к кривой y=f(x) в точке B0.
Здесь не надо вычислять каждый раз производную f’(xn).
Исходный интервал: [0; 2].
Корень лежит в пределах [1.6;1.8].
Вычисляем значения функций в точке a = 1.6.
f(1.6) = 0.5494
f ''(1.6) = 2
Поскольку f(a)•f ''(a) > 0, то x0 = a = 1.6
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x0)	h = f(x) / f '(x0)	
1	1.6	0.549	-2.674	-0.205	

Ответ: x = 1.6 - 0.549 / -0.118 = 1.80545222; F(x) = -0.1178

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения