Найдем корни уравнения:
2•ln(x+7)-5•sin(x) = 0
Используем для этого Метод хорд.
Находим первую производную:
dF/dx = 2/(x+7)-5•cos(x)
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 5•sin(x)-2/(x+7)^2
Рассмотрим более быстрый способ нахождения корня на интервале [a,b], в предположении, что f(a)f(b)<0.
Уравнение хорды:

В точке x=x1, y=0, в результате получим первое приближение корня

Проверяем условия:
1. f(x1)f(b)<0,
2. f(x1)f(a)<0.
Если выполняется условие (1), то в формуле точку a заменяем на x1, получим:

Продолжая этот процесс, получим для n-го приближения:

Пусть f(xi)f(a)<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x1. Здесь выполняется f(x1)f(a)<0. Затем вводим b1=x1 (в формуле точку b заменяем на x1), получим:

Продолжая процесс, придем к формуле:

Останов процесса:
|xn – xn-1|< ε, ξ = xn.
Исходный интервал: [-5; 8].
Корень лежит в пределах [-3.7;-2.4].
Вычисляем значения функций в точке a = -3.7.
f(-3.7) = -0.2613
f ''(-3.7) = 2.6492
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = -2.4
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h = F(x)*(b-x)/(f(b)-f(x))	
1	-3.7	-0.261	-0.0508	
2	-3.649	-0.0122	-0.0024	
3	-3.647	-0.0004	-0.0001	

Ответ: x = -3.647-(-0) = -3.64678022; F(x) = -0
Корень лежит в пределах [0.2;1.5].
Вычисляем значения функций в точке a = 0.2.
f(0.2) = 2.9548
f ''(0.2) = 0.9933
Поскольку f(a)•f ''(a) > 0, то x0 = a = 0.2
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h = F(x)*(x-a)/(f(x)-f(a))	
1	1.5	-0.707	1.249	
2	1.249	-0.523	1.091	
3	1.091	-0.254	1.021	
4	1.021	-0.098	0.994	
5	0.994	-0.0342	0.985	
6	0.985	-0.0115	0.982	
7	0.982	-0.0038	0.981	
8	0.981	-0.0013	0.981	

Ответ: x = 0.981-(0.981) = 0.98071557; F(x) = -0.0004
Корень лежит в пределах [1.5;2.8].
Вычисляем значения функций в точке a = 1.5.
f(1.5) = -0.7073
f ''(1.5) = 4.9875
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 2.8
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h = F(x)*(b-x)/(f(b)-f(x))	
1	1.5	-0.707	-0.256	
2	1.756	-0.575	-0.173	
3	1.929	-0.304	-0.0829	
4	2.012	-0.124	-0.0325	
5	2.044	-0.0453	-0.0117	
6	2.056	-0.0158	-0.0041	
7	2.06	-0.0054	-0.0014	
8	2.062	-0.0019	-0.0005	

Ответ: x = 2.062-(-0) = 2.06200472; F(x) = -0.0006

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения