Найдем корни уравнения:
x2-3+0.5^x = 0
Используем для этого Метод секущих.
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 0.2402265^x+2
Если итерации xn и xn+1 расположены достаточно близко друг к другу, то производную f’(xn) в алгоритме Ньютона можно заменить ее приближенным значением:

Таким образом, из формулы метода Ньютона получим формулу секущих:

Геометрический смысл такого изменения алгоритма Ньютона состоит в том, что от аппроксимации f(x) касательной мы переходим к секущей.
Останов: |xn+1-xn|< ε, где ε - заданная точность.
Метод секущих уступает методу Ньютона в скорости сходимости, однако не требует вычисления производной функции f(x).
Исходный интервал: [0; 3].
Корень лежит в пределах [1.5;1.8].
Вычисляем значения функций в точке a = 1.5.
f(1.5) = -0.75
f ''(1.5) = 0.2402
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 1.8
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h' = (x-xn-1) / (f(x) - f(xn-1))	h = f(x)*h'	
1	1.8	0.24	0.286	0.0686	
2	1.731	-0.0022	0.236	-0.0005	

Ответ: x = 1.73193676; F(x) = -0.0004

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения