Найдем корни уравнения:
8•cos(x)-x = 0
Используем для этого Метод Ньютона.
Находим первую производную:
dF/dx = -8•sin(x)-1
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = -8•cos(x)
Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня xn-1. Тогда n-ое приближение xn мы можем получить следующим образом. Положим:
xn = xn-1 + hn-1
Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке xn-1, получим:
f(xn) = f(xn-1+hn-1) = f(xn-1) + f’(xn-1)hn-1=0
Отсюда следует:

Подставим hn-1 в формулу, получим:

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой.
Исходный интервал: [-10; 1].
Корень лежит в пределах [-4.5;-3.4].
Вычисляем значения функций в точке a = -4.5.
f(-4.5) = 2.8136
f ''(-4.5) = 1.6864
Поскольку f(a)•f ''(a) > 0, то x0 = a = -4.5
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f '(x)	
1	-4.5	2.814	-8.82	-0.319	
2	-4.181	0.127	-7.897	-0.0161	
3	-4.165	0.0005	-7.831	-0.0001	

Ответ: x = -4.165 - 0.001 / -7.831 = -4.16483092; F(x) = 0
Корень лежит в пределах [-2.3;-1.2].
Вычисляем значения функций в точке a = -2.3.
f(-2.3) = -3.0302
f ''(-2.3) = 5.3302
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = -1.2
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f '(x)	
1	-1.2	4.099	6.456	0.635	
2	-1.835	-0.253	6.723	-0.0377	
3	-1.797	0.0014	6.796	0.0002	
4	-1.797	0	6.795	0	

Ответ: x = -1.797 - 0 / 6.795 = -1.79740667; F(x) = 0

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения