Найдем корни уравнения:
log(x)•x-x3+7 = 0
Используем для этого Метод Ньютона.
Находим первую производную:
dF/dx = -3•x2+log(x)+1
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 1/x-6•x
Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня xn-1. Тогда n-ое приближение xn мы можем получить следующим образом. Положим:
xn = xn-1 + hn-1
Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке xn-1, получим:
f(xn) = f(xn-1+hn-1) = f(xn-1) + f’(xn-1)hn-1=0
Отсюда следует:

Подставим hn-1 в формулу, получим:

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой.
Исходный интервал: [-10; 10].
Корень лежит в пределах [0;2].
Вычисляем значения функций в точке a = 0.
f(0) = 7
f ''(0) = 0
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 2
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f '(x)	
1	2	-0.398	-10.699	0.0372	
2	1.963	0.0129	-10.265	-0.0013	
3	1.964	-0.0007	-10.28	0.0001	

Ответ: x = 1.964 - -0.001 / -10.28 = 1.96399639; F(x) = 0

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения