Найдем корни уравнения:
x4-18•x2+6 = 0
Используем для этого Метод хорд.
Находим первую производную:
dF/dx = 4•x•(x2-9)
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 12•(x2-3)
Рассмотрим более быстрый способ нахождения корня на интервале [a,b], в предположении, что f(a)f(b)<0.
Уравнение хорды:

В точке x=x1, y=0, в результате получим первое приближение корня

Проверяем условия:
1. f(x1)f(b)<0,
2. f(x1)f(a)<0.
Если выполняется условие (1), то в формуле точку a заменяем на x1, получим:

Продолжая этот процесс, получим для n-го приближения:

Пусть f(xi)f(a)<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x1. Здесь выполняется f(x1)f(a)<0. Затем вводим b1=x1 (в формуле точку b заменяем на x1), получим:

Продолжая процесс, придем к формуле:

Останов процесса:
|xn – xn-1|< ε, ξ = xn.
Исходный интервал: [-10; 10].
Корень лежит в пределах [-6;-4].
Вычисляем значения функций в точке a = -6.
f(-6) = 654
f ''(-6) = 396
Поскольку f(a)•f ''(a) > 0, то x0 = a = -6
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h = F(x)*(x-a)/(f(x)-f(a))	
1	-4	-26	-4.076	
2	-4.076	-16.972	-4.125	
3	-4.125	-10.733	-4.155	
4	-4.155	-6.651	-4.174	
5	-4.174	-4.07	-4.185	
6	-4.185	-2.471	-4.192	
7	-4.192	-1.493	-4.196	
8	-4.196	-0.899	-4.199	
9	-4.199	-0.541	-4.2	
10	-4.2	-0.325	-4.201	

Ответ: x = -4.2-(-4.201) = -4.20106886; F(x) = -0.1952
Корень лежит в пределах [-2;0].
Вычисляем значения функций в точке a = -2.
f(-2) = -50
f ''(-2) = 12
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 0
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h = F(x)*(b-x)/(f(b)-f(x))	
1	-2	-50	-1.786	
2	-0.214	5.176	1.345	
3	-1.56	-31.863	-1.312	
4	-0.247	4.904	1.106	
5	-1.353	-23.615	-1.079	
6	-0.274	4.652	0.947	
7	-1.221	-18.604	-0.923	
8	-0.298	4.413	0.828	
9	-1.125	-15.188	-0.807	
10	-0.319	4.183	0.733	
11	-1.052	-12.697	-0.714	
12	-0.338	3.961	0.656	
13	-0.994	-10.797	-0.639	
14	-0.355	3.748	0.591	
15	-0.946	-9.3	-0.575	
16	-0.371	3.543	0.535	
17	-0.906	-8.092	-0.52	
18	-0.386	3.345	0.486	
19	-0.872	-7.097	-0.472	
20	-0.399	3.156	0.443	
21	-0.842	-6.266	-0.43	
22	-0.412	2.974	0.405	
23	-0.817	-5.563	-0.393	
24	-0.424	2.799	0.371	
25	-0.794	-4.962	-0.36	
26	-0.435	2.632	0.34	
27	-0.775	-4.443	-0.33	
28	-0.445	2.473	0.312	
29	-0.757	-3.992	-0.303	
30	-0.455	2.321	0.287	
31	-0.742	-3.598	-0.278	
32	-0.464	2.177	0.264	
33	-0.728	-3.25	-0.256	
34	-0.472	2.04	0.243	
35	-0.715	-2.943	-0.235	
36	-0.48	1.91	0.224	
37	-0.704	-2.67	-0.217	
38	-0.487	1.787	0.207	
39	-0.694	-2.427	-0.2	
40	-0.494	1.67	0.19	
41	-0.684	-2.209	-0.184	
42	-0.5	1.56	0.176	
43	-0.676	-2.014	-0.17	
44	-0.506	1.456	0.162	
45	-0.668	-1.838	-0.157	
46	-0.512	1.359	0.15	
47	-0.661	-1.68	-0.145	
48	-0.517	1.267	0.138	
49	-0.655	-1.536	-0.134	
50	-0.521	1.181	0.128	
51	-0.649	-1.407	-0.123	
52	-0.526	1.1	0.118	
53	-0.644	-1.289	-0.114	
54	-0.53	1.024	0.109	
55	-0.639	-1.182	-0.105	
56	-0.534	0.952	0.101	
57	-0.635	-1.085	-0.0971	
58	-0.537	0.886	0.0931	
59	-0.63	-0.996	-0.0897	
60	-0.541	0.823	0.086	
61	-0.627	-0.915	-0.0829	
62	-0.544	0.765	0.0795	
63	-0.623	-0.841	-0.0766	
64	-0.547	0.711	0.0735	
65	-0.62	-0.773	-0.0708	
66	-0.549	0.66	0.0679	
67	-0.617	-0.712	-0.0654	
68	-0.552	0.613	0.0628	
69	-0.615	-0.655	-0.0605	
70	-0.554	0.569	0.058	
71	-0.612	-0.603	-0.0559	
72	-0.556	0.528	0.0536	
73	-0.61	-0.555	-0.0517	
74	-0.558	0.49	0.0496	
75	-0.608	-0.512	-0.0478	
76	-0.56	0.454	0.0458	
77	-0.606	-0.471	-0.0441	
78	-0.562	0.421	0.0424	
79	-0.604	-0.435	-0.0408	
80	-0.563	0.39	0.0392	
81	-0.602	-0.401	-0.0377	
82	-0.565	0.362	0.0362	
83	-0.601	-0.37	-0.0349	
84	-0.566	0.335	0.0335	
85	-0.6	-0.341	-0.0322	
86	-0.567	0.31	0.031	
87	-0.598	-0.314	-0.0298	
88	-0.568	0.288	0.0286	
89	-0.597	-0.29	-0.0275	
90	-0.57	0.266	0.0265	
91	-0.596	-0.268	-0.0255	
92	-0.571	0.247	0.0245	
93	-0.595	-0.247	-0.0235	
94	-0.571	0.228	0.0226	
95	-0.594	-0.228	-0.0218	
96	-0.572	0.211	0.0209	
97	-0.593	-0.211	-0.0201	
98	-0.573	0.196	0.0193	
99	-0.592	-0.194	-0.0186	
100	-0.574	0.181	0.0179	

Ответ: x = -0.574-(0.018) = -0.59170825; F(x) = -0.1796
Корень лежит в пределах [0;2].
Вычисляем значения функций в точке a = 0.
f(0) = 6
f ''(0) = -36
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 2
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h = F(x)*(b-x)/(f(b)-f(x))	
1	0	6	-0.214	
2	0.214	5.176	-0.168	
3	0.382	3.398	-0.103	
4	0.485	1.826	-0.0534	
5	0.538	0.871	-0.025	
6	0.563	0.392	-0.0112	
7	0.574	0.171	-0.0049	
8	0.579	0.074	-0.0021	
9	0.581	0.0318	-0.0009	

Ответ: x = 0.581-(-0.001) = 0.58220300; F(x) = 0.0136
Корень лежит в пределах [4;6].
Вычисляем значения функций в точке a = 4.
f(4) = -26
f ''(4) = 156
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 6
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h = F(x)*(b-x)/(f(b)-f(x))	
1	4	-26	-0.0765	
2	4.076	-16.972	-0.0487	
3	4.125	-10.733	-0.0303	
4	4.155	-6.651	-0.0186	
5	4.174	-4.07	-0.0113	
6	4.185	-2.471	-0.0068	
7	4.192	-1.493	-0.0041	
8	4.196	-0.899	-0.0025	
9	4.199	-0.541	-0.0015	
10	4.2	-0.325	-0.0009	

Ответ: x = 4.2-(-0.001) = 4.20106886; F(x) = -0.1952

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения