Найдем корни уравнения:
8•x4-6•x3-7•x2+6•x-1 = 0
Используем для этого Метод хорд.
Находим первую производную:
dF/dx = 2•(16•x3-9•x2-7•x+3)
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 96•x2-36•x-14
Рассмотрим более быстрый способ нахождения корня на интервале [a,b], в предположении, что f(a)f(b)<0.
Уравнение хорды:

В точке x=x1, y=0, в результате получим первое приближение корня

Проверяем условия:
1. f(x1)f(b)<0,
2. f(x1)f(a)<0.
Если выполняется условие (1), то в формуле точку a заменяем на x1, получим:

Продолжая этот процесс, получим для n-го приближения:

Пусть f(xi)f(a)<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x1. Здесь выполняется f(x1)f(a)<0. Затем вводим b1=x1 (в формуле точку b заменяем на x1), получим:

Продолжая процесс, придем к формуле:

Останов процесса:
|xn – xn-1|< ε, ξ = xn.
Исходный интервал: [-10; 10].
Корень лежит в пределах [-2;0].
Вычисляем значения функций в точке a = -2.
f(-2) = 135
f ''(-2) = 442
Поскольку f(a)•f ''(a) > 0, то x0 = a = -2
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h = F(x)*(x-a)/(f(x)-f(a))	
1	0	-1	-0.0147	
2	-0.0147	-1.09	-0.0306	
3	-0.0306	-1.19	-0.0478	
4	-0.0478	-1.302	-0.0665	
5	-0.0665	-1.428	-0.0867	
6	-0.0867	-1.568	-0.109	
7	-0.109	-1.726	-0.133	
8	-0.133	-1.902	-0.158	
9	-0.158	-2.098	-0.187	
10	-0.187	-2.315	-0.217	
11	-0.217	-2.554	-0.25	
12	-0.25	-2.815	-0.286	
13	-0.286	-3.095	-0.325	
14	-0.325	-3.39	-0.366	
15	-0.366	-3.693	-0.409	
16	-0.409	-3.991	-0.455	
17	-0.455	-4.27	-0.502	
18	-0.502	-4.509	-0.551	
19	-0.551	-4.689	-0.599	
20	-0.599	-4.786	-0.647	
21	-0.647	-4.785	-0.693	
22	-0.693	-4.676	-0.737	
23	-0.737	-4.461	-0.778	
24	-0.778	-4.152	-0.814	
25	-0.814	-3.773	-0.846	
26	-0.846	-3.35	-0.874	
27	-0.874	-2.913	-0.898	
28	-0.898	-2.485	-0.918	
29	-0.918	-2.085	-0.934	
30	-0.934	-1.724	-0.948	
31	-0.948	-1.409	-0.959	
32	-0.959	-1.141	-0.967	
33	-0.967	-0.915	-0.974	
34	-0.974	-0.73	-0.98	
35	-0.98	-0.579	-0.984	
36	-0.984	-0.457	-0.988	
37	-0.988	-0.36	-0.99	
38	-0.99	-0.283	-0.993	
39	-0.993	-0.222	-0.994	
40	-0.994	-0.173	-0.995	
41	-0.995	-0.135	-0.996	
42	-0.996	-0.106	-0.997	

Ответ: x = -0.99723692; F(x) = -0.0824
Корень лежит в пределах [0;2].
Вычисляем значения функций в точке a = 0.
f(0) = -1
f ''(0) = -14
Поскольку f(a)•f ''(a) > 0, то x0 = a = 0
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h = F(x)*(x-a)/(f(x)-f(a))	
1	2	63	0.0313	
2	0.0313	-0.82	0.173	
3	0.173	-0.195	0.215	
4	0.215	-0.0759	0.233	
5	0.233	-0.0349	0.241	
6	0.241	-0.0172	0.245	
7	0.245	-0.0088	0.248	
8	0.248	-0.0046	0.249	
9	0.249	-0.0024	0.249	

Ответ: x = 0.24932091; F(x) = -0.0013

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения