Найдем корни уравнения:
x-1•sin(x)-0.25 = 0
Используем для этого Метод Ньютона.
Находим первую производную:
dF/dx = 1-1•cos(x)
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = sin(x)
Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня xn-1. Тогда n-ое приближение xn мы можем получить следующим образом. Положим:
xn = xn-1 + hn-1
Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке xn-1, получим:
f(xn) = f(xn-1+hn-1) = f(xn-1) + f’(xn-1)hn-1=0
Отсюда следует:

Подставим hn-1 в формулу, получим:

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой.
Исходный интервал: [1; 1.5].
Корень лежит в пределах [1.15;1.2].
Вычисляем значения функций в точке a = 1.15.
f(1.15) = -0.0128
f ''(1.15) = 0.9128
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 1.2
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f '(x)	
1	1.2	0.018	0.638	0.0282	
2	1.172	0.0004	0.612	0.0006	

Ответ: x = 1.172 - 0 / 0.612 = 1.17122992; F(x) = 0

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения