Найдем корни уравнения:
x4-4•x3-8•x2+1 = 0
Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии)..
Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод дихотомии заключается в следующем.
Определяем половину отрезка c=1/2(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:
1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε - заданная точность.
2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a,c].
3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке[c,b].
Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ.
Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен:
bn-an=1/2n(b-a)
В качестве корня ξ. возьмем 1/2(an+bn). Тогда погрешность определения корня будет равна (bn – an)/2. Если выполняется условие:
(bn – an)/2 < ε
то процесс поиска заканчивается и ξ = 1/2(an+bn).
Исходный интервал: [-4; -1].
Корень лежит в пределах [-1.6;-1.3].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (-1.6 + -1.3)/2 = -1.45
F(c) = 0.795
F(x) = 3.4576
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-1.45
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (-1.45 + -1.3)/2 = -1.375
F(c) = -0.1521
F(x) = 0.795
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-1.375
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (-1.45 + -1.375)/2 = -1.4125
F(c) = 0.292
F(x) = 0.795
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-1.4125
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (-1.4125 + -1.375)/2 = -1.3938
F(c) = 0.0628
F(x) = 0.292
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-1.3938
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	-1.45	-1.6	-1.3	0.795	0.795	
2	-1.375	-1.45	-1.3	0.795	-0.152	
3	-1.413	-1.45	-1.375	0.292	0.292	
4	-1.394	-1.413	-1.375	0.0628	0.0628	
5	-1.384	-1.394	-1.375	0.0628	-0.0464	

Ответ:
x = -1.384; F(x) = -0.0464
Количество итераций, N = 5
Параметр сходимости.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения