Найдем корни уравнения:
-8•sin(x)-1 = 0
Используем для этого Метод Ньютона.
Находим первую производную:
dF/dx = -8•cos(x)
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 8•sin(x)
Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня xn-1. Тогда n-ое приближение xn мы можем получить следующим образом. Положим:
xn = xn-1 + hn-1
Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке xn-1, получим:
f(xn) = f(xn-1+hn-1) = f(xn-1) + f’(xn-1)hn-1=0
Отсюда следует:

Подставим hn-1 в формулу, получим:

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой.
Исходный интервал: [-10; 1].
Корень лежит в пределах [-10;-8.9].
Вычисляем значения функций в точке a = -10.
f(-10) = -5.3522
f ''(-10) = 4.3522
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = -8.9
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f '(x)	
1	-8.9	3.008	6.923	0.434	
2	-9.334	-0.279	7.967	-0.035	
3	-9.3	-0.0005	7.937	-0.0001	

Ответ: x = -9.3 - -0 / 7.937 = -9.29945013; F(x) = -0
Корень лежит в пределах [-6.7;-5.6].
Вычисляем значения функций в точке a = -6.7.
f(-6.7) = 2.2388
f ''(-6.7) = -3.2388
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = -5.6
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f '(x)	
1	-5.6	-6.05	-6.205	0.975	
2	-6.575	1.302	-7.662	-0.17	
3	-6.405	-0.0269	-7.941	0.0034	
4	-6.409	-0	-7.937	0	

Ответ: x = -6.409 - -0 / -7.937 = -6.40851242; F(x) = -0
Корень лежит в пределах [-3.4;-2.3].
Вычисляем значения функций в точке a = -3.4.
f(-3.4) = -3.0443
f ''(-3.4) = 2.0443
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = -2.3
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f '(x)	
1	-2.3	4.966	5.33	0.932	
2	-3.232	-1.719	7.968	-0.216	
3	-3.016	0.0034	7.937	0.0004	
4	-3.016	-0	7.937	0	

Ответ: x = -3.016 - -0 / 7.937 = -3.01626483; F(x) = -0
Корень лежит в пределах [-1.2;-0.1].
Вычисляем значения функций в точке a = -1.2.
f(-1.2) = 6.4563
f ''(-1.2) = -7.4563
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = -0.1
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f '(x)	
1	-0.1	-0.201	-7.96	0.0253	
2	-0.125	-0.0003	-7.937	0	

Ответ: x = -0.125 - -0 / -7.937 = -0.12532783; F(x) = -0

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения