Найдем корни уравнения:
2•ln(x+7)-5•sin(x) = 0
Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии)..
Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод дихотомии заключается в следующем.
Определяем половину отрезка c=1/2(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:
1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε - заданная точность.
2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a,c].
3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке[c,b].
Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ.
Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен:
bn-an=1/2n(b-a)
В качестве корня ξ. возьмем 1/2(an+bn). Тогда погрешность определения корня будет равна (bn – an)/2. Если выполняется условие:
(bn – an)/2 < ε
то процесс поиска заканчивается и ξ = 1/2(an+bn).
Исходный интервал: [-5; 8].
Корень лежит в пределах [-3.7;-2.4].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (-3.7 -2.4)/2 = -3.05
F(c) = 3.2048
F(x) = -0.2613
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-3.05
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (-3.7 -3.05)/2 = -3.375
F(c) = 1.4192
F(x) = -0.2613
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-3.375
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (-3.7 -3.375)/2 = -3.5375
F(c) = 0.5558
F(x) = -0.2613
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-3.5375
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (-3.7 -3.5375)/2 = -3.6188
F(c) = 0.1402
F(x) = -0.2613
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-3.6188
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	-3.05	-3.7	-2.4	-0.261	3.205	
2	-3.375	-3.7	-3.05	-0.261	1.419	
3	-3.538	-3.7	-3.375	-0.261	0.556	
4	-3.619	-3.7	-3.538	-0.261	0.14	
5	-3.659	-3.7	-3.619	-0.0625	-0.0625	
6	-3.639	-3.659	-3.619	-0.0625	0.0384	
7	-3.649	-3.659	-3.639	-0.0121	-0.0121	
8	-3.644	-3.649	-3.639	-0.0121	0.0131	
9	-3.647	-3.649	-3.644	-0.0121	0.0005	
10	-3.648	-3.649	-3.647	-0.0058	-0.0058	
11	-3.647	-3.648	-3.647	-0.0027	-0.0027	

Ответ:
x = -3.647; F(x) = -0.0027
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.

Корень лежит в пределах [0.2;1.5].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (0.2 + 1.5)/2 = 0.85
F(c) = 0.3646
F(x) = 2.9548
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=0.85
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (0.85 + 1.5)/2 = 1.175
F(c) = -0.4113
F(x) = 0.3646
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=1.175
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (0.85 + 1.175)/2 = 1.0125
F(c) = -0.0788
F(x) = 0.3646
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=1.0125
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (0.85 + 1.0125)/2 = 0.9313
F(c) = 0.1298
F(x) = 0.3646
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=0.9313
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	0.85	0.2	1.5	0.365	0.365	
2	1.175	0.85	1.5	0.365	-0.411	
3	1.013	0.85	1.175	0.365	-0.0788	
4	0.931	0.85	1.013	0.13	0.13	
5	0.972	0.931	1.013	0.0221	0.0221	
6	0.992	0.972	1.013	0.0221	-0.0292	
7	0.982	0.972	0.992	0.0221	-0.0037	
8	0.977	0.972	0.982	0.0091	0.0091	
9	0.979	0.977	0.982	0.0027	0.0027	
10	0.981	0.979	0.982	0.0027	-0.0005	
11	0.98	0.979	0.981	0.0011	0.0011	

Ответ:
x = 0.98; F(x) = 0.0011
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.

Корень лежит в пределах [1.5;2.8].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (1.5 + 2.8)/2 = 2.15
F(c) = 0.243
F(x) = -0.7073
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=2.15
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (1.5 + 2.15)/2 = 1.825
F(c) = -0.4841
F(x) = -0.7073
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=1.825
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (1.825 + 2.15)/2 = 1.9875
F(c) = -0.1805
F(x) = -0.4841
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=1.9875
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (1.9875 + 2.15)/2 = 2.0688
F(c) = 0.0169
F(x) = -0.1805
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=2.0688
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	2.15	1.5	2.8	-0.707	0.243	
2	1.825	1.5	2.15	-0.484	-0.484	
3	1.988	1.825	2.15	-0.18	-0.18	
4	2.069	1.988	2.15	-0.18	0.0169	
5	2.028	1.988	2.069	-0.0855	-0.0855	
6	2.048	2.028	2.069	-0.0352	-0.0352	
7	2.059	2.048	2.069	-0.0094	-0.0094	
8	2.064	2.059	2.069	-0.0094	0.0037	
9	2.061	2.059	2.064	-0.0029	-0.0029	
10	2.062	2.061	2.064	-0.0029	0.0004	
11	2.062	2.061	2.062	-0.0012	-0.0012	

Ответ:
x = 2.062; F(x) = -0.0012
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения