Найдем корни уравнения:
x4-18•x2+5•x-8 = 0
Используем для этого Метод хорд.
Находим первую производную:
dF/dx = 4•x3-36•x+5
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 12•(x2-3)
Рассмотрим более быстрый способ нахождения корня на интервале [a,b], в предположении, что f(a)f(b)<0.
Уравнение хорды:

В точке x=x1, y=0, в результате получим первое приближение корня

Проверяем условия:
1. f(x1)f(b)<0,
2. f(x1)f(a)<0.
Если выполняется условие (1), то в формуле точку a заменяем на x1, получим:

Продолжая этот процесс, получим для n-го приближения:

Пусть f(xi)f(a)<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x1. Здесь выполняется f(x1)f(a)<0. Затем вводим b1=x1 (в формуле точку b заменяем на x1), получим:

Продолжая процесс, придем к формуле:

Останов процесса:
|xn – xn-1|< ε, ξ = xn.
Исходный интервал: [-10; 10].
Корень лежит в пределах [-6;-4].
Вычисляем значения функций в точке a = -6.
f(-6) = 610
f ''(-6) = 396
Поскольку f(a)•f ''(a) > 0, то x0 = a = -6
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h = F(x)*(x-a)/(f(x)-f(a))	
1	-4	-60	-4.179	
2	-4.179	-38.241	-4.287	
3	-4.287	-22.556	-4.348	
4	-4.348	-12.692	-4.381	
5	-4.381	-6.952	-4.4	
6	-4.4	-3.752	-4.409	
7	-4.409	-2.008	-4.415	
8	-4.415	-1.07	-4.417	
9	-4.417	-0.569	-4.419	
10	-4.419	-0.302	-4.42	

Ответ: x = -4.419-(-4.42) = -4.41957983; F(x) = -0.1604
Корень лежит в пределах [4;6].
Вычисляем значения функций в точке a = 4.
f(4) = -20
f ''(4) = 156
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 6
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h = F(x)*(b-x)/(f(b)-f(x))	
1	4	-20	-0.058	
2	4.058	-12.952	-0.0368	
3	4.095	-8.194	-0.023	
4	4.118	-5.106	-0.0142	
5	4.132	-3.152	-0.0087	
6	4.141	-1.935	-0.0054	
7	4.146	-1.183	-0.0033	
8	4.149	-0.722	-0.002	
9	4.151	-0.44	-0.0012	
10	4.153	-0.268	-0.0007	

Ответ: x = 4.153-(-0.001) = 4.15336732; F(x) = -0.1631

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения