Найдем корни уравнения:
x2-1•tan(0.4•x+0.4) = 0
Используем для этого Метод Ньютона.
Находим первую производную:
dF/dx = 2•x-0.4^2(0.4•x+0.4)
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 2-0.32•tan(0.4•x+0.4)•1^2(0.4•x+0.4)
Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня xn-1. Тогда n-ое приближение xn мы можем получить следующим образом. Положим:
xn = xn-1 + hn-1
Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке xn-1, получим:
f(xn) = f(xn-1+hn-1) = f(xn-1) + f’(xn-1)hn-1=0
Отсюда следует:

Подставим hn-1 в формулу, получим:

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой.
Исходный интервал: [-10; 10].
Корень лежит в пределах [-2;0].
Вычисляем значения функций в точке a = -2.
f(-2) = 4.4228
f ''(-2) = 2.1353
Поскольку f(a)•f ''(a) > 0, то x0 = a = -2
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f '(x)	
1	-2	4.423	-4	-1.106	
2	-0.894	0.757	-1.789	-0.423	
3	-0.471	0.0068	-0.942	-0.0072	
4	-0.464	-0.003	-0.927	0.0032	
5	-0.467	0.0013	-0.934	-0.0014	
6	-0.465	-0.0006	-0.931	0.0006	

Ответ: x = -0.465 - -0.001 / -0.931 = -0.46601759; F(x) = 0.0003
Корень лежит в пределах [0;2].
Вычисляем значения функций в точке a = 0.
f(0) = -0.4228
f ''(0) = 1.8647
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 2
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f '(x)	
1	2	1.428	4	0.357	
2	1.643	0.927	3.286	0.282	
3	1.361	0.47	2.722	0.173	
4	1.188	0.214	2.376	0.0899	
5	1.098	0.0921	2.197	0.0419	
6	1.056	0.0387	2.113	0.0183	
7	1.038	0.016	2.076	0.0077	
8	1.03	0.0066	2.061	0.0032	
9	1.027	0.0027	2.054	0.0013	
10	1.026	0.0011	2.052	0.0005	

Ответ: x = 1.026 - 0.001 / 2.052 = 1.02523837; F(x) = 0.0005

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения