Найдем корни уравнения:
x3+2•x•x+2 = 0
Используем для этого Метод Ньютона.
Находим первую производную:
dF/dx = x•(3•x+4)
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 6•x+4
Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня xn-1. Тогда n-ое приближение xn мы можем получить следующим образом. Положим:
xn = xn-1 + hn-1
Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке xn-1, получим:
f(xn) = f(xn-1+hn-1) = f(xn-1) + f’(xn-1)hn-1=0
Отсюда следует:

Подставим hn-1 в формулу, получим:

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой.
Исходный интервал: [-3; -2].
Корень лежит в пределах [-2.4;-2.3].
Вычисляем значения функций в точке a = -2.4.
f(-2.4) = -0.304
f ''(-2.4) = -10.4
Поскольку f(a)•f ''(a) > 0, то x0 = a = -2.4
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f '(x)	
1	-2.4	-0.304	7.68	-0.0396	
2	-2.36	-0.0081	7.273	-0.0011	
3	-2.359	-0	7.262	0	

Ответ: x = -2.359 - -0 / 7.262 = -2.35930496; F(x) = -0

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения