Найдем корни уравнения:
4•x3-12.3•x2-x+16.2 = 0
Используем для этого Метод Ньютона.
Находим первую производную:
dF/dx = 12•x2-24.6•x-1
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 24•x-24.6
Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня xn-1. Тогда n-ое приближение xn мы можем получить следующим образом. Положим:
xn = xn-1 + hn-1
Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке xn-1, получим:
f(xn) = f(xn-1+hn-1) = f(xn-1) + f’(xn-1)hn-1=0
Отсюда следует:

Подставим hn-1 в формулу, получим:

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой.
Исходный интервал: [2; 3].
Корень лежит в пределах [2.5;2.6].
Вычисляем значения функций в точке a = 2.5.
f(2.5) = -0.675
f ''(2.5) = 35.4
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 2.6
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f '(x)	
1	2.6	0.756	16.16	0.0468	
2	2.553	0.041	14.418	0.0028	

Ответ: x = 2.553 - 0.041 / 0 = 2.55037729; F(x) = 0.0001

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения