Найдем корни уравнения:
x•x+4•sin(x)-1 = 0
Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии)..
Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод дихотомии заключается в следующем.
Определяем половину отрезка c=1/2(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:
1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε - заданная точность.
2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a,c].
3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке[c,b].
Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ.
Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен:
bn-an=1/2n(b-a)
В качестве корня ξ. возьмем 1/2(an+bn). Тогда погрешность определения корня будет равна (bn – an)/2. Если выполняется условие:
(bn – an)/2 < ε
то процесс поиска заканчивается и ξ = 1/2(an+bn).
Исходный интервал: [-5; 0].
Корень лежит в пределах [-2.5;-2].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (-2.5 -2)/2 = -2.25
F(c) = 0.9502
F(x) = 2.8561
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-2.25
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (-2.25 -2)/2 = -2.125
F(c) = 0.1143
F(x) = 0.9502
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-2.125
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (-2.125 -2)/2 = -2.0625
F(c) = -0.2722
F(x) = 0.1143
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-2.0625
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (-2.125 -2.0625)/2 = -2.0938
F(c) = -0.0816
F(x) = 0.1143
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-2.0938
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	-2.25	-2.5	-2	0.95	0.95	
2	-2.125	-2.25	-2	0.114	0.114	
3	-2.063	-2.125	-2	0.114	-0.272	
4	-2.094	-2.125	-2.063	0.114	-0.0816	
5	-2.109	-2.125	-2.094	0.0157	0.0157	
6	-2.102	-2.109	-2.094	0.0157	-0.0331	
7	-2.105	-2.109	-2.102	0.0157	-0.0087	
8	-2.107	-2.109	-2.105	0.0035	0.0035	
9	-2.106	-2.107	-2.105	0.0035	-0.0026	

Ответ:
x = -2.106; F(x) = -0.0026
Количество итераций, N = 9
Параметр сходимости.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения