Найдем корни уравнения:
x4-4•x3-8•x2+1 = 0
Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии)..
Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод дихотомии заключается в следующем.
Определяем половину отрезка c=1/2(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:
1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε - заданная точность.
2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a,c].
3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке[c,b].
Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ.
Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен:
bn-an=1/2n(b-a)
В качестве корня ξ. возьмем 1/2(an+bn). Тогда погрешность определения корня будет равна (bn – an)/2. Если выполняется условие:
(bn – an)/2 < ε
то процесс поиска заканчивается и ξ = 1/2(an+bn).
Исходный интервал: [-10; 10].
Корень лежит в пределах [0;2].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (0 + 2)/2 = 1
F(c) = -10
F(x) = 1
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=1
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (0 + 1)/2 = 0.5
F(c) = -1.4375
F(x) = 1
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=0.5
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (0 + 0.5)/2 = 0.25
F(c) = 0.4414
F(x) = 1
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=0.25
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (0.25 + 0.5)/2 = 0.375
F(c) = -0.3162
F(x) = 0.4414
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=0.375
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	1	0	2	1	-10	
2	0.5	0	1	1	-1.438	
3	0.25	0	0.5	0.441	0.441	
4	0.375	0.25	0.5	0.441	-0.316	
5	0.313	0.25	0.375	0.106	0.106	
6	0.344	0.313	0.375	0.106	-0.0938	
7	0.328	0.313	0.344	0.009	0.009	
8	0.336	0.328	0.344	0.009	-0.0417	

Ответ:
x = 0.336; F(x) = -0.0417
Количество итераций, N = 8
Параметр сходимости.

Корень лежит в пределах [4;6].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (4 + 6)/2 = 5
F(c) = -74
F(x) = -127
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=5
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (5 + 6)/2 = 5.5
F(c) = 8.5625
F(x) = -74
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=5.5
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (5 + 5.5)/2 = 5.25
F(c) = -38.6211
F(x) = -74
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=5.25
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (5.25 + 5.5)/2 = 5.375
F(c) = -16.6052
F(x) = -38.6211
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=5.375
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	5	4	6	-74	-74	
2	5.5	5	6	-74	8.563	
3	5.25	5	5.5	-38.621	-38.621	
4	5.375	5.25	5.5	-16.605	-16.605	
5	5.438	5.375	5.5	-4.428	-4.428	
6	5.469	5.438	5.5	-4.428	1.964	
7	5.453	5.438	5.469	-1.258	-1.258	
8	5.461	5.453	5.469	-1.258	0.347	

Ответ:
x = 5.461; F(x) = 0.347
Количество итераций, N = 8
Параметр сходимости.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения