Найдем корни уравнения:
x4-18•x2+5•x-8 = 0
Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии)..
Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод дихотомии заключается в следующем.
Определяем половину отрезка c=1/2(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:
1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε - заданная точность.
2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a,c].
3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке[c,b].
Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ.
Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен:
bn-an=1/2n(b-a)
В качестве корня ξ. возьмем 1/2(an+bn). Тогда погрешность определения корня будет равна (bn – an)/2. Если выполняется условие:
(bn – an)/2 < ε
то процесс поиска заканчивается и ξ = 1/2(an+bn).
Исходный интервал: [-10; 10].
Корень лежит в пределах [-6;-4].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (-6 -4)/2 = -5
F(c) = 142
F(x) = 610
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-5
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (-5 -4)/2 = -4.5
F(c) = 15.0625
F(x) = 142
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-4.5
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (-4.5 -4)/2 = -4.25
F(c) = -28.1211
F(x) = 15.0625
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-4.25
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (-4.5 -4.25)/2 = -4.375
F(c) = -8.0427
F(x) = 15.0625
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-4.375
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	-5	-6	-4	142	142	
2	-4.5	-5	-4	15.063	15.063	
3	-4.25	-4.5	-4	15.063	-28.121	
4	-4.375	-4.5	-4.25	15.063	-8.043	
5	-4.438	-4.5	-4.375	3.119	3.119	
6	-4.406	-4.438	-4.375	3.119	-2.558	
7	-4.422	-4.438	-4.406	0.256	0.256	
8	-4.414	-4.422	-4.406	0.256	-1.157	
9	-4.418	-4.422	-4.414	0.256	-0.452	
10	-4.42	-4.422	-4.418	0.256	-0.0984	
11	-4.421	-4.422	-4.42	0.0787	0.0787	

Ответ:
x = -4.421; F(x) = 0.0787
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.

Корень лежит в пределах [4;6].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (4 + 6)/2 = 5
F(c) = 192
F(x) = -20
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=5
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (4 + 5)/2 = 4.5
F(c) = 60.0625
F(x) = -20
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=4.5
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (4 + 4.5)/2 = 4.25
F(c) = 14.3789
F(x) = -20
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=4.25
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (4 + 4.25)/2 = 4.125
F(c) = -4.1248
F(x) = -20
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=4.125
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	5	4	6	-20	192	
2	4.5	4	5	-20	60.063	
3	4.25	4	4.5	-20	14.379	
4	4.125	4	4.25	-4.125	-4.125	
5	4.188	4.125	4.25	-4.125	4.786	
6	4.156	4.125	4.188	-4.125	0.247	
7	4.141	4.125	4.156	-1.96	-1.96	
8	4.148	4.141	4.156	-0.861	-0.861	
9	4.152	4.148	4.156	-0.308	-0.308	
10	4.154	4.152	4.156	-0.0309	-0.0309	
11	4.155	4.154	4.156	-0.0309	0.108	

Ответ:
x = 4.155; F(x) = 0.108
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения