Найдем корни уравнения:
tan(2.5•x)-5•x = 0
Используем для этого Комбинированный метод.
Находим первую производную:
dF/dx = 2.5^2(2.5•x)-5
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 12.5•tan(2.5•x)•1^2(2.5•x)
Пусть f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют знаки на [a,b]. Объединяя метод хорд и метод Ньютона, можно ускорить сходимость итерационного процесса поиска корня.
В результате мы получаем комбинированный метод, на каждом шаге которого находим значение обоих границ интервалов, внутри которых содержится корень.
Также как и в методе хорд, рассмотрим следующие ситуации:
1. Если f’’(b0)f(b0)>0 (то есть bn - неподвижен) то:

2) Если f’’(a0)f(a0)>0 (an - неподвижен), то:

Исходный интервал: [.4; .6].
Корень лежит в пределах [0.46;0.48].
Вычисляем значения функций в точке a = 0.46.
f(0.46) = -0.0655
f ''(0.46) = 27.9312
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 0.48
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	b	F(b)	h = f(b)*(b-x)/(f(b)-f(x))	hb = f(b)/f '(b)	
1	0.46	-0.0655	0.48	0	-0.0055	0.0689	
2	0.466	-0.0078	0.411	0	-0.0011	-0.159	
3	0.467	0.0042	0.571	0	0.0001	1.61	

Ответ: x = 0.46649509; F(x) = 0.003

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения