Найдем корни уравнения:
sin(x) = 0
Используем для этого Комбинированный метод.
Находим первую производную:
dF/dx = 2•x•cos(x)
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 2•(cos(x)-2•x2•sin(x))
Пусть f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют знаки на [a,b]. Объединяя метод хорд и метод Ньютона, можно ускорить сходимость итерационного процесса поиска корня.
В результате мы получаем комбинированный метод, на каждом шаге которого находим значение обоих границ интервалов, внутри которых содержится корень.
Также как и в методе хорд, рассмотрим следующие ситуации:
1. Если f’’(b0)f(b0)>0 (то есть bn - неподвижен) то:

2) Если f’’(a0)f(a0)>0 (an - неподвижен), то:

Исходный интервал: [0; 2].
Корень лежит в пределах [1.6;1.8].
Вычисляем значения функций в точке a = 1.6.
f(1.6) = 0.5494
f ''(1.6) = 2
Поскольку f(a)•f ''(a) > 0, то x0 = a = 1.6
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	a	F(a)	h = f(a)*(x-a)/(f(x)-f(a))	ha = f(a)/f '(a)	
1	1.8	-0.0982	1.6	0	0.0303	-0.205	
2	1.77	0.0099	1.805	0	-0.0028	0.0328	
3	1.772	0.0001	1.773	0	0	0.0001	

Ответ: x = 1.77243395; F(x) = 0.0001

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения