Найдем корни уравнения:
x2-18 = 0
Используем для этого Метод Ньютона.
Находим первую производную:
dF/dx = 2•x
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 2
Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня xn-1. Тогда n-ое приближение xn мы можем получить следующим образом. Положим:
xn = xn-1 + hn-1
Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке xn-1, получим:
f(xn) = f(xn-1+hn-1) = f(xn-1) + f’(xn-1)hn-1=0
Отсюда следует:

Подставим hn-1 в формулу, получим:

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой.
Исходный интервал: [-10; 10].
Корень лежит в пределах [-6;-4].
Вычисляем значения функций в точке a = -6.
f(-6) = 18
f ''(-6) = 2
Поскольку f(a)•f ''(a) > 0, то x0 = a = -6
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f '(x)	
1	-6	18	-12	-1.5	
2	-4.5	2.25	-9	-0.25	
3	-4.25	0.0625	-8.5	-0.0074	
4	-4.243	0.0001	-8.485	0	

Ответ: x = -4.243 - 0 / -8.485 = -4.24264706; F(x) = 0.0001
Корень лежит в пределах [4;6].
Вычисляем значения функций в точке a = 4.
f(4) = -2
f ''(4) = 2
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 6
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f '(x)	
1	6	18	12	1.5	
2	4.5	2.25	9	0.25	
3	4.25	0.0625	8.5	0.0074	
4	4.243	0.0001	8.485	0	

Ответ: x = 4.243 - 0 / 8.485 = 4.24264706; F(x) = 0.0001

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения