Найдем корни уравнения:
x4^x = 0
Используем для этого Метод Ньютона.
Находим первую производную:
dF/dx = 2^x•x•(x•log(2)+2)
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 2^x•(x2•log()2(2)+x•log(16)+2)
Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня xn-1. Тогда n-ое приближение xn мы можем получить следующим образом. Положим:
xn = xn-1 + hn-1
Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке xn-1, получим:
f(xn) = f(xn-1+hn-1) = f(xn-1) + f’(xn-1)hn-1=0
Отсюда следует:

Подставим hn-1 в формулу, получим:

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой.
Исходный интервал: [-10; 10].
В данном интервале [-10; 10] нет корней.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения