Метод итераций

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор предназначен для отыскания корней уравнения методом итераций. Решение оформляется в формате Word.
F(x) =
Искать в интервале от до . Точность ξ =
Количество интервалов разбиения, n =
Метод решения нелинейных уравнений
Примеры правильного написания F(x):
  1. 10•x•e2x = 10*x*exp(2*x)
  2. x•e-x+cos(3x) = x*exp(-x)+cos(3*x)
  3. x3-x2+3 = x^3-x^2+3
  4. 2x=√(x+1) ≡ 2*x-sqrt(x+1)
Одним из наиболее эффективных способов численного решения уравнений является метод итерации. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение f(x)=0.
Заменим его равносильным уравнением
x=φ(x). (1)

Выберем начальное приближение корня x0 и подставим его в правую часть уравнения (1). Тогда получим некоторое число
x1=φ(x0). (2)

Подставляя теперь в правую часть (2) вместо x0 число x1 получим число x2=φ(x1). Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел
xn=φ(xn-1) (n=1,2..). (3)

Если эта последовательность сходящаяся, то есть существует предел , то переходя к пределу в равенстве (3) и предполагая функцию φ(x) непрерывной найдем
или ξ=φ(ξ).
Таким образом, предел ξ является корнем уравнения (1) и может быть вычислен по формуле (3) с любой степенью точности.

Рис. 1а Рис. 1б

Рис. 2.
 - расходящийся процесс

На рис.1а, 1б в окрестности корня  и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай , то процесс итерации может быть расходящимся (см. рис.2).

Достаточные условия сходимости метода итерации

Теорема 7. Пусть функция φ(x) определена и дифференцируема на отрезке [a,b], причем все ее значения  и пусть  при . Тогда процесс итерации xn = φ(xn-1)  сходится независимо от начального значения и предельное значение является единственным корнем уравнения x= φ(x) на отрезке [a,b].
Доказательство: Рассмотрим два последовательных приближения xn = φ(xn-1) и xn+1= φ(xn) и возьмем их разность . По теореме Лагранжа правая часть может быть представлена как

Тогда получим
.

Полагая n=1,2,...


(4)

Из (4) в силу условия q<1 видно, что последовательность {xn} сходится к некоторому числу ξ, то есть , и следовательно, <ик> (в силу непрерывности функции φ(x))
или ξ= φ(ξ) ч.т.д.
Для погрешности корня ξ можно получить следующую формулу.
Имеем xn=φ(xn-1).
Далее
Теперь
.

В результате получим

или

Отсюда
, (5)

откуда видно, что при q близком к 1 разность |ξ -xn| может быть очень большой несмотря на то что |xn-xn-1|<ε, где ε-заданная величина. Для того, чтобы вычислить ξ с точностью необходимо обеспечить
. (6)

Тогда подставляя (6) в (5), получим |ξ -xn|<ε.
Если q очень мало, то вместо (6) можно использовать
|xn-xn-1|<ε.

Сходимость метода итерации линейная с коэффициентом сходимости α=q. Действительно, имеем
, отсюда
.

Замечание. Пусть в некоторой окрестности корня  уравнения x= φ(x) производная φ’(x) сохраняет постоянный знак и выполнено неравенство |φ’(x)|≤q<1. Тогда, если φ’(x) положительна, то последовательные приближения xn = φ(xn-1) сходятся к корню монотонно.
Если же φ’(x) отрицательна, то последовательные приближения колеблются около корня.
Рассмотрим способ представления уравнения f(x)=0 в форме x= φ(x).
Функцию φ(x) необходимо задать такую, чтобы |φ’(x)| была малой величиной в окрестности корня.
Пусть известно m1 и M1 - наименьшее и наибольшее значения производной f’(x)
0<m1≤f’(x) ≤M1 (7)
Заменим уравнение f(x)=0 эквивалентным ему уравнением
x = x - λf(x).
Положим φ(x) = x- λf(x). Подберем параметр λ таким образом, чтобы в окрестности корня ξ выполнялось неравенство

.

Отсюда на основании (7) получаем
.

Тогда выбирая λ = 1/M1,  получим
q = 1-m1/M1 < 1.
Если λ =1/f’(x), то итерационная формула  xn = φ(xn-1) переходит в формулу Ньютона
xn = xn-1 – f(xn)/f’(x).

Пример. Найти корень уравнения . (8)
Решение.
Представим уравнение (8) в форме
x=x-λ(e-x-x)
Найдем максимальное значение производной от функции f(x)= e-x-x.
. Значение . Таким образом, решаем следующее уравнение
x=x+0,73(e-x-x)
Значения последовательных приближений даны в таблице.

n xi f(xi)
1 0.0 1.0
2 0.73 -0.2481
3 0.5489 0.0287
4 0.5698 -0.0042
5 0.5668 0.0006
загрузка...