Метод диагонального преобладания
Задача по теме “Решение систем линейных алгебраических уравнений”.Решить систему линейных уравнений x=b методами а) простых итераций; б) Зейделя.
Итерационными методами решение задачи найти с точностью ε = 10-3.
УКАЗАНИЕ. Для выполнения достаточного условия сходимости воспользоваться перестановкой строк в исходной системе уравнений.
A
-9 4 64 0
10 50 0 -4
0 -14 7 80
40 9 0 0
b = (24; -5; 14; 29)T
Решение СЛАУ методом простой итерации
Прежде чем применять метод итераций, необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы. Если при этом условие все таки не выполняется, то иногда удается обеспечить сходимость метода с помощью следующего метода.Пусть дана система Ax = b. Преобразуем ее к виду: x= Qx + c
где Q = E - D•A, c = D•b
Здесь D - некоторая матрица. Нам необходимо подобрать такую матрицу D, чтобы выполнялось условие |Q| < 1.
Чтобы получить |Q| < 1, используем следующий способ.
Имеем СЛАУ
A x =b (1)
Предполагая, что aii ≠ 0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x1, второе – относительно x2,…, n-ое уравнение – относительно xn. В результате получим:
x1=β1 - α12x2 - α13x3 - ... - α1nxn
x2=β2 - α21x1 - α23x3 - ... - α2nxn
xn=βn - αn1xn - αn3x3 - ... - αnn-1xn-1
где βi=bi/aii; αij=aij/aii при i ≠ j; αii=0
Система (2) в матричной форме имеет вид:
x=β - αx
Систему будем решать методом последовательных приближений. Пусть x0=β, тогда:
x1=b - a x0
x2=b - a x1
....
xk+1=b - a xk
Прежде чем применять метод, необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы.
| 40 | 9 | 0 | 0 |
| 10 | 50 | 0 | -4 |
| -9 | 4 | 64 | 0 |
| 0 | -14 | 7 | 80 |
x1=0.73-0.23x2
x2=-0.1-(0.2x1-0.08x4)
x3=0.38-(-0.14x1+0.0625x2)
x4=0.18-(-0.18x2+0.0875x3)
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.
N=1
x1=0.73 - 0 • 0.23 - 0 • 0 - 0 • 0=0.73
x2=-0.1 - 0 • 0.2 - 0 • 0 - 0 • (-0.08)=-0.1
x3=0.38 - 0 • (-0.14) - 0 • 0.0625 - 0 • 0=0.38
x4=0.18 - 0 • 0 - 0 • (-0.18) - 0 • 0.0875=0.18
N=2
x1=0.73 - (-0.1) • 0.23 - 0.38 • 0 - 0.18 • 0=0.75
x2=-0.1 - 0.73 • 0.2 - 0.38 • 0 - 0.18 • (-0.08)=-0.23
x3=0.38 - 0.73 • (-0.14) - (-0.1) • 0.0625 - 0.18 • 0=0.48
x4=0.18 - 0.73 • 0 - (-0.1) • (-0.18) - 0.38 • 0.0875=0.12
N=3
x1=0.73 - (-0.23) • 0.23 - 0.48 • 0 - 0.12 • 0=0.78
x2=-0.1 - 0.75 • 0.2 - 0.48 • 0 - 0.12 • (-0.08)=-0.24
x3=0.38 - 0.75 • (-0.14) - (-0.23) • 0.0625 - 0.12 • 0=0.49
x4=0.18 - 0.75 • 0 - (-0.23) • (-0.18) - 0.48 • 0.0875=0.0923
Остальные расчеты сведем в таблицу.
| N | x1 | x2 | x3 | x4 | e1 | e2 | e3 | e4 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||
| 1 | 0.73 | -0.1 | 0.38 | 0.18 | 0.73 | 0.1 | 0.38 | 0.18 |
| 2 | 0.75 | -0.23 | 0.48 | 0.12 | 0.0225 | 0.13 | 0.11 | -0.0503 |
| 3 | 0.78 | -0.24 | 0.49 | 0.0923 | 0.0295 | 0.00853 | 0.0114 | -0.0324 |
| 4 | 0.78 | -0.25 | 0.5 | 0.0898 | 0.00192 | 0.00849 | 0.00468 | -0.00249 |
| 5 | 0.78 | -0.25 | 0.5 | 0.0879 | 0.00191 | 0.000582 | 0.0008 | -0.00189 |
| 6 | 0.78 | -0.25 | 0.5 | 0.0877 | 0.000131 | 0.000533 | 0.000305 | -0.000172 |
Перейти к онлайн решению своей задачи
Решение СЛАУ методом Зейделя
Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой итераций.Имеем СЛАУ
A x =b (1)
Предполагая, что aii ≠ 0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x1, второе – относительно x2,…, n-ое уравнение – относительно xn. В результате получим:
x1=β1 - α12x2 - α13x3 - ... - α1nxn
x2=β2 - α21x1 - α23x3 - ... - α2nxn
xn=βn - αn1xn - αn3x3 - ... - αnn-1xn-1
где βi=bi/aii; αij=aij/aii при i ≠ j; αii=0
Известно начальное приближение: x0=(x01, x02, ..., x0n).
Основная идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1) - приближение неизвестных x1, x2, ..., xn.
Итерационная схема имеет вид:
xk+11=β1 - ∑α1jxkj
xk+12=β2 - α21xk+11 - ∑α2jxkj
xk+1i=βi - ∑αijxk+11 - ∑α2jxkj
Прежде чем применять метод, необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы.
| 40 | 9 | 0 | 0 |
| 10 | 50 | 0 | -4 |
| -9 | 4 | 64 | 0 |
| 0 | -14 | 7 | 80 |
x1=0.73-0.23x2
x2=-0.1-(0.2x1-0.08x4)
x3=0.38-(-0.14x1+0.0625x2)
x4=0.18-(-0.18x2+0.0875x3)
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.
N=1
x1=0.73 - 0 • 0.23 - 0 • 0 - 0 • 0=0.73
x2=-0.1 - 0.73 • 0.2 - 0 • 0 - 0 • (-0.08)=-0.25
x3=0.38 - 0.73 • (-0.14) - (-0.25) • 0.0625 - 0 • 0=0.49
x4=0.18 - 0.73 • 0 - (-0.25) • (-0.18) - 0.49 • 0.0875=0.0891
N=2
x1=0.73 - (-0.25) • 0.23 - 0.49 • 0 - 0.0891 • 0=0.78
x2=-0.1 - 0.78 • 0.2 - 0.49 • 0 - 0.0891 • (-0.08)=-0.25
x3=0.38 - 0.78 • (-0.14) - (-0.25) • 0.0625 - 0.0891 • 0=0.5
x4=0.18 - 0.78 • 0 - (-0.25) • (-0.18) - 0.5 • 0.0875=0.0877
N=3
x1=0.73 - (-0.25) • 0.23 - 0.5 • 0 - 0.0877 • 0=0.78
x2=-0.1 - 0.78 • 0.2 - 0.5 • 0 - 0.0877 • (-0.08)=-0.25
x3=0.38 - 0.78 • (-0.14) - (-0.25) • 0.0625 - 0.0877 • 0=0.5
x4=0.18 - 0.78 • 0 - (-0.25) • (-0.18) - 0.5 • 0.0875=0.0876
| N | x1 | x2 | x3 | x4 | e1 | e2 | e3 | e4 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||
| 1 | 0.73 | -0.25 | 0.49 | 0.0891 | 0.73 | 0.25 | 0.49 | 0.0891 |
| 2 | 0.78 | -0.25 | 0.5 | 0.0877 | 0.0551 | 0.0039 | 0.008 | -0.00138 |
| 3 | 0.78 | -0.25 | 0.5 | 0.0876 | 0.000878 | 0.000286 | 0.000141 | -6.2E-5 |
