Метод наименьших квадратов

Пример №1. Задачи по теме “Приближение функции по методу наименьших квадратов”.
Задача 6. Функция y=y(x) задана таблицей своих значений:
x: -2 -1 0 1 2
y: -0,8 -1,6 -1,3 0,4 3,2
Применяя метод наименьших квадратов, приблизить функцию многочленами 1-ой и 2-ой степеней. Для каждого приближения определить величину среднеквадратичной погрешности. Построить точечный график функции и графики многочленов.

Решение. Функция многочлена 2-ой степени имеет вид y = ax2+ bx + c.
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов. Система уравнений МНК:
a0n + a1∑x + a2∑x2= ∑y
a0∑x + a1∑x2+ a2∑x3= ∑yx
a0∑x2+ a1∑x3+ a2∑x4= ∑yx2

xyx2y2x yx3x4x2y
00000000
-2-0.840.641.6-816-3.2
-1-1.612.561.6-11-1.6
0-1.301.690000
10.410.160.4110.4
23.2410.246.481612.8
0-0.11015.29100348.4


Для наших данных система уравнений имеет вид
6a0+ 0a1+ 10a2= -0.1
0a0+ 10a1+ 0a2= 10
10a0+ 0a1+ 34a2= 8.4
Получаем a0= 0.494, a1= 1, a2= -0.84
Уравнение: y = 0.494x2+x-0.84

Пример №2. Функция y=y(x) задача таблицей своих значений. Применяя метод наименьших квадратов, приблизить функцию многочленами 1-й и 2-й степени. Для каждого приближения определить величину среднеквадратической погрешности. Построить точечный график функции и графики многочленов.

загрузка...