Метод Зейделя

Для решения системы уравнений методом Зейделя используйте сервис Метод Зейделя онлайн.

Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой итераций.
Пусть дана приведённая система:
Метод Зейделя
и известно начальное приближение . Основная идея заключается в том, что при вычислении (k+1) - го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1) - приближение неизвестных x1, x2, .., xi-1.
Итерационная схема имеет вид:

Положим α = B + C, где
.
Тогда процесс Зейделя в матричном виде можно записать как:
xk+1 = B xk +1 + C xk + β

Процесс Зейделя для нормальной системы

Рассмотрим один из способов преобразования системы:
Ax = b                                 (1)

позволяющий всегда получать сходящийся процесс Зейделя. Помножим (1) слева на AT
ATAx = ATb   или   Cx = d, (2)

где C = ATA; d = ATb.
Систему (2) принято называть нормальной. (Такая система получается при использовании МНК)
Нормальная система обладает рядом замечательных свойств:
  1. матрица С – симметрическая;
  2. все элементы главной диагонали cij > 0;
  3. матрица С - положительно определена.

Достаточные условия сходимости итерационной последовательности

Достаточные условия сходимости итерационной последовательности приближенных решений системы и оценка погрешности проводятся по тем же формулам, что и в методе простой итерации.
Пример 3.2. Рассмотрим вычисление двух приближений по методу Зейделя для примера, решенного выше для метода простой итерации и оценим погрешность.
Вычисления будем проводить по формулам:

Выбираем начальное приближение: и получаем:
, .
.

Пример. Система двух Линейных Алгебраических Уравнения (СЛАУ) с двумя неизвестными задана своей расширенной матрицей. Решите СЛАУ методом Зейделя с точностью до 0.001. Поменяйте порядок уравнений в СЛАУ и решите полученную таким образом СЛАУ тем же методом Зейделя. Постройте графики уравнений СЛАУ в обоих СЛАУ в обоих случаях и покажите на них первые три-четыре итерации.

-4 4 -3
4 7 -4

Решение получаем с помощью калькулятора.

загрузка...