Модифицированный метод Ньютона

Примечание: метод Ньютона–Рафсона
Модификация метода Ньютона заключается в замене производной f’(xn) в точке xn в формуле

на производную f’(x0) в точке x0, т.е. полагаем f’(xn)≈f’(x0). В результате получим
(n=0,1,...). (3.23)
Геометрически этот способ означает, что мы заменяем касательные в точках Bn прямыми, параллельными касательной к кривой y=f(x) в точке B0 (см. рис.3).
Модифицированный метод Ньютона
Рис.3. Модифицированный метод Ньютона

Преимущества метода: здесь не надо вычислять каждый раз производную f’(xn). Сходимость процесса (3.23) обеспечивается следующей теоремой.

Теорема 6. Пусть на [a,b] задана дважды дифференцируемая функция f(x), причем выполнены след. условия
а) f(a)f(b)<0
б) f’(x) и f’’(x)≠0 и сохраняют знаки на [a,b].
Тогда исходя из начального приближения  удовлетворяющего неравенству
f(x0)f’’(x0)>0
можно вычислить модифицированным методом Ньютона единственный корень ξ с любой степенью точности.

Доказательство: Пусть f’(x)>0, f’’(x0)>0 (см.рис.3) Тогда в качестве x0 берем точку x0=b, так как  f(b)f’’(b)>0. Из (3.23) следует, что xn+1<xn, то есть последовательность {xn} является убывающей
b=x0>x1>…>xn>a (3.24)
Покажем теперь, что эта последовательность имеет предел ξ. Пусть xn-1> ξ. Докажем, что xn> ξ. Для этого запишем n-ое приближение, полученное по формуле Ньютона (см. формулу (3.17)) и по модифицированной формуле Ньютона (3.23)


и найдем разность
. (3.25)
Из теории выпуклых функций известно, что если f’’(x) и сохраняет знак на [a,b], то f(x)является выпуклой. Для выпуклой функции f(x) производная f’(x) является неубывающей, то есть для . Поэтому
. (3.26)
С учетом (3.26) из (11) следует  . Из теоремы 5 сходимости метода Ньютона мы получали , поэтому . Отсюда
ξ≤xn. (3.27)

Таким образом, из (3.24) и (3.27) получили убывающую сходящуюся последовательность
x0>x1>…>xn≥ξ.
Следовательно, для любого сколь угодно малого ε>0 можно указать такое n, что
|xn-ξ|< ε. Теорема доказана.

Сходимость метода. В отличие от метода Ньютона здесь сходимость уже не будет квадратичной. Действительно, из (3.23) имеем
. (3.28)
Подставляя (3.21) в (3.28), получим
(3.29)
Здесь появился линейный член относительно (ξ-xn-1). При | ξ –xn-1| << 1 вторым слагаемым в правой части (3.29) можно пренебречь, в результате получим
,
где .
Таким образом, сходимость модифицированного метода Ньютона будет линейной с параметром сходимости .

загрузка...