Численное интегрирование функций

Квадратурные формулы

Если функция непрерывна на [a,b] и известна ее первообразная , то определенный интеграл от этой функции может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница
, (8.1.1)
где .
Однако во многих случаях не может быть найдена с помощью элементарных функций или является слишком сложной; поэтому вычисление интеграла (8.1.1) может быть практически невыполнимым. Кроме того, на практике подынтегральная функция часто задается таблично и тогда понятие первообразной теряет смысл. Поэтому важное значение имеют численные методы вычисления определенных интегралов.
Суть численного интегрирования заключается в вычислении значения (8.1.1) на основании ряда значений .
Численное вычисление однократного интеграла (интеграла от функции одной переменной) называется квадратурой, а двойного – кубатурой. Соответствующие формулы мы будем называть квадратурными и кубатурными.

Рассмотрим вычисление однократных интегралов. Обычный прием квадратуры состоит в том, что на [a,b] заменяют аппроксимирующей или интерполирующей функцией простого вида (например, полиномом), а затем приближенно полагают
. (8.1.2)
Функция должна быть такова, чтобы вычислялся непосредственно.
Если задана аналитически, то можно ставить вопрос об оценке погрешности формулы (8.1.2).
Предположим, что для функции заданной своими значениями на сетке построен полином Лагранжа.
, (8.1.3)
причем ,
где .

Заменяя полиномом получим равенство
, (8.1.4)
где - ошибка квадратурной формулы (4) (остаточный член).
Подставим (8.1.3) в (8.1.4) получим приближенную квадратурную формулу
, (8.1.5)
где . (8.1.6)
Коэффициенты не зависят от функции , а зависят лишь от расположения узлов сетки.
Следует заметить, что если является полиномом степени n, то формула (8.1.5) – точная, т.к. в этом случае ; следовательно, формула (8.1.5) является точной, например, если , т.е. . В этом случае нет необходимости строить полином Лагранжа, т.к. коэффициенты могут быть найдены из системы уравнений
,
где .

Пример. Вывести квадратурную формулу вида
. (8.1.7)
Решение. Полагая в (8.1.7) и учитывая, что

получим систему
.
Отсюда:
и, следовательно (8.1.8)
Формула (8.1.8) является точной для всех полиномов степени не выше второй.

Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

Пусть для данной функции требуется вычислить интеграл .
Зададим шаг и разобьем [a,b] на n отрезков с помощью равноотстоящих точек
.
Пусть
.
Заменяя функцию интерполяционным полиномом Лагранжа , получим квадратурную формулу
. (8.2.1)
Получим явные выражения для коэффициентов формулы (8.2.1).
С помощью подстановки

полином Лагранжа примет вид
.
Подставим в (8.2.1) и приравняем сомножители при . В результате получим для
. (8.2.2)
Подставим в (8.2.2) и введем величины (коэффициенты Котеса)
,
где . (8.2.3)

Тогда (8.2.1) примет вид
, . (8.2.4)
Справедливы соотношения:
1)
2) .
Первое свойство получается следующим образом. Если в формуле (8.2.4) положить , то получим
.
Второе свойство доказывается непосредственными вычислениями.

Формула трапеции

Формула Симпсона

Формула прямоугольников

Квадратурная формула Чебышева

Рассмотрим квадратурную формулу (8.3.1)
где - коэффициенты. Зададим коэффициенты равны между собой. Абсциссы будем выбирать таким образом, чтобы квадратурная формула (8.3.1) являлась точной для всех полиномов до степени включительно.
Найдём и . Полагая и учитывая, что при будем иметь
,
получаем .
Следовательно, квадратурная формула (8.3.1) примет вид
. (8.3.2)
Найдём теперь . Формула (8.3.2), согласно второму условию, должна быть точной для функций вида
.
Подставляя эти функции в (8.3.2), получим систему уравнений
(8.3.3)
из которой могут быть определены неизвестные , . Формула (8.3.2), в которой абсциссы определяются системой (8.3.3), называется квадратурой Чебышева.
Система (8.3.3) при и не имеет действительных решений. В этом состоит принципиальный недостаток формулы Чебышева.
Получим значения для и .
1) . Система (8.3.3) примет вид


В результате получаем ; .
2) .
(8.3.4)
Из решения системы (8.3.4) получим: . Таким образом, формула Чебышева имеет вид
.

Чтобы применить формулу Чебышева к интегралу вида
следует преобразовать его с помощью подстановки
,
переводящей отрезок в отрезок . В результате получим
, (8.3.5)

где - корни системы (4).
В заключение приведём значения для :

n n
2 1;2 6 1;6
3 1;3
2;5

2 0
3;4
4 1;4 7 1;7

2;3
2;6
5 1;5
3;5

2;4
4 0

3 0



Квадратурная формула Гаусса

Здесь нам потребуются некоторые сведения о полиномах Лежандра. Полиномы вида называются полиномами Лежандра. Свойства полиномов Лежандра:
1) , ().
2) Свойство ортогональности:

где - любой полином степени .

Пример




Второе слагаемое здесь равно нулю, т.к. подынтегральная функция нечетная.
3) Полином Лежандра имеет различных и действительных корней, которые расположены на интервале (-1, 1).
Перейдём теперь к выводу квадратурной формулы Гаусса. Рассмотрим функцию на [-1, 1]. Поставим задачу: как нужно подобрать точки и коэффициенты , чтобы квадратурная формула
(8.4.1)
была точной для всех полиномов наивысшей возможной степени (т. к. нужно определить коэффициентов , а полином степени имеет коэффициентов).

Для обеспечения равенства (8.4.1) необходимо и достаточно, чтобы оно было верным при .
При этом мы получим следующую систему уравнений относительно :
. (8.4.2)

Таким образом, учитывая соотношение

,


получим из (8.4.2) систему из уравнений для определения коэффициентов и узлов :
(8.4.3)
Система (8.4.3) нелинейная и её решение обычным путём вызывает большие математические трудности. Применим следующий искусственный приём: рассмотрим полиномы
,
где - полином Лежандра. На основании (8.5.1) мы можем записать
. (8.4.4)
С другой стороны, в силу свойства ортогональности полиномов Лежандра (свойство 2), имеем
,
поэтому (8.4.4) дает следующие равенства
. (8.4.5)
Равенства (8.4.5) будут заведомо выполнены при любых , если положить
. (8.4.6)
Т. о., если в качестве взять нули полинома , то мы обеспечиваем наивысшую точность квадратурной формулы (8.4.1) для всех полиномов степени . Как известно (свойство 3), эти нули действительны, различны и расположены на (-1, 1). Зная , легко находим из линейной системы первых уравнений (8.4.3) коэффициенты (). Определитель этой системы есть определитель Вандермонда

и, следовательно, определяются однозначно. Формула (4), где - нули полиномов Лежандра и определяются из системы (8.4.3), называется квадратурной формулой Гаусса.
Получим квадратурную формулу Гаусса для (три точки). Полином Лежандра 3-ей степени есть
.
Приравнивая , находим

Для определения имеем систему

Отсюда . Следовательно,
.
Для произвольного интервала формула Гаусса имеет вид
(8.4.7)
где
,
- нули полинома Лежандра . Остаточный член формулы Гаусса (8.4.7) с узлами определяется следующим образом:
.
В частности,

В таблице приведены значения для :
1 1 0 2
2 1;2 1
3 1;3 0.55555556

2 0 0.88888889
4 1;4 0.34785484

2;3 0.65214516
5 1;5 0.23692688

2;4 0.47862868

3 0 0.56888889
6 1;6 0.17132450

2;5 0.36076158

3;4 0.46791394
7 1;7 0.12948496

2;6 0.27970540

3;5 0.38183006

4 0 0.41795918
8 1;8 0.10122854

2;7 0.22238104

3;6 0.31370664

4;5 0.36268378

О точности квадратурных формул

Рассмотренные нами квадратурные формулы имеют следующую структуру:
,
где - система узлов на , - некоторые известные постоянные коэффициенты, - остаточный член. При одном и том же числе ординат точность различных квадратурных формул различна.

Пример. Сравнить точность различных квадратурных формул при для интеграла
.
Решение: Формула Симпсона дает

Формула Чебышева
.
Формула Гаусса

.

Таким образом, здесь формула Гаусса является наиболее точной.
Точность квадратурной формулы для фиксированного числа узлов существенно зависит от расположения этих узлов. При неудачном выборе узлов квадратурная формула может дать сильно искажённые результаты. Например, для функции (см. ниже) выбирая равноотстоящие узлы и пользуясь формулой Ньютона - Котеса (или любой другой) для пяти ординат, получим
,
тогда как очевидно, что :

Вообще, при наличии значительного числа нулей подынтегральной функции или при большом числе экстремумов (т. е. когда имеется большое количество нулей ), точность квадратурных формул сильно снижается. Поэтому шаг нужно выбирать так, чтобы он был намного меньше расстояний между соседними нулями функции и её производной .
Практические рекомендации:
1) Если подынтегральная функция задана таблично, то для численного интегрирования мы не можем использовать формулы Гаусса, Чебышева. Поэтому в этом случае применяют формулы трапеций, Симпсона (основанные на интерполяционном полиноме Лагранжа), прямоугольников (лево- и правостороннюю). Другой способ – это предварительно построить другой интерполяционный полином и затем вычислить интеграл. Одним из наиболее широко применяемых полиномов является кубический интерполяционный сплайн. Вычислив коэффициенты сплайна , рассчитываем затем интеграл по формуле
,
где .
2) Если функция задана аналитически, то полезно предварительно построить график этой функции. В случае если она окажется сильно осциллирующей, то следует применять специальные приёмы численного интегрирования. Один из них заключается в выделении подинтервалов, в которых содержится один нуль функции или . Разбив весь интервал на эти подинтервалы, мы затем вычисляем численно интеграл в каждом таком подинтервале по одной из квадратурных формул, и потом складываем эти интегралы.
Для вычисления интегралов на подинтервалах мы можем использовать любую квадратурную формулу. Наибольшей точностью обладает квадратурная формула Гаусса. Для достижения заданной точности поступают следующим образом. Пусть задана точность, число подинтервалов оказалось равным . Тогда, если погрешность вычисления меньше , то погрешность будет меньше .
3) Для достижения заданной точности вычисления интеграла от , заданного аналитически, можно использовать следующий способ. Пусть - значение интеграла при числе узлов , - . Используя квадратурную формулу Гаусса, увеличение числа узлов проводят до тех пор, пока , где - заданная точность. Если используют формулу Симпсона, то число узлов на каждой итерации обычно удваивают (шаг уменьшают в два раза).

Вычисление несобственных интегралов

Интеграл
(8.7.1)
называется собственным, если:
1) промежуток интегрирования конечен;
2) подынтегральная функция непрерывна на .
В противном случае интеграл (8.7.1) называется несобственным. Рассмотрим сначала вычисление интеграла
(8.7.2)
с бесконечным промежутком интегрирования, где - непрерывна при .

Интеграл (8.7.2) называется сходящимся, если существует конечный предел
. (8.7.3)
В этом случае полагают
. (8.7.4)
Если предел (8.7.3) не существует, то интеграл (8.7.2) называется расходящимся и лишён смысла. Поэтому, прежде чем приступить к вычислению несобственного интеграла, нужно предварительно убедиться, что этот интеграл сходится.

Чтобы вычислить сходящийся несобственный интеграл (8.7.2) с заданной точностью , представим его в виде , (8.7.5)
где выбирают столь большим, чтобы имело место неравенство
. (8.7.6)
Собственный интеграл вычисляется по одной из квадратурных формул с точностью до
, (8.7.7)
где - приближённое значение интеграла . Тогда
,
и поставленная задача будет решена.

Перейдём теперь к вычислению интеграла (8.7.1), где имеет конечное число точек разрыва на интервале . Промежуток интегрирования разбиваем на частичные промежутки с единственной точкой разрыва. Итак, пусть имеет одну точку разрыва. Пусть эта точка .

Точка разрыва называется точкой разрыва 1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы слева и справа, т.е.

; .
Точка разрыва называется точкой разрыва 2-го рода, если один из односторонних пределов не существует, или в точке функция не определена.
Пример: Функции имеют в точке разрыв 2-го рода. Функция в точке имеет правосторонний предел и левосторонний предел :

Если в точке разрыв 1-го рода, то можно положить
, (8.7.8)
где .
Интегралы и вычисляем по квадратурной формуле с точностью до .
Если в точке имеет разрыв 2-го рода, то полагают
, (8.7.9)
и в случае существования этого предела интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Для приближённого вычисления сходящегося интеграла (8.7.9) с заданной точностью выбирают и столь малыми, чтобы имело место неравенство
.
Затем по известным квадратурным формулам приближённо вычисляют собственные интегралы
и . (8.7.10)
Очевидно, что если и - приближённые значения интегралов (8.7.10) с точностью до , то

с точностью до .

загрузка...