Формула Симпсона

Формула Симпсона
Остаточный член квадратурной формулы Симпсона равен , где или

Назначение сервиса. Сервис предназначен для вычисления определенного интеграла по формуле Симпсона в онлайн режиме (см. пример).

Инструкция. Введите подынтегральную функцию f(x), нажмите Решить. Полученное решение сохраняется в файле Word. Также создается шаблон решения в Excel.

Подынтегральная функция f(x) =
Пределы интегрирования до . Точность округления
Количество интервалов разбиения n = или Шаг h =
Метод численного интегрирования функций

Вывод формулы Симпсона

Из формулы
при n = 2 получаем

Т.к. x2-x0 = 2h, то имеем . (10)
Это формула Симпсона. Геометрически это означает, что кривую y=f(x) мы заменяем параболой y=L2(x), проходящей через три точки: M0(x0,y0), M1(x1,y1), M2(x2,y2).


Остаточный член формулы Симпсона равен

Предположим, что . Получим явное выражение для R. Фиксируя среднюю точку x1 и рассматривая R=R(h) как функцию h, будем иметь:
.
Отсюда дифференцируя последовательно три раза по h, получим



Окончательно имеем
,
где . Кроме того, имеем: R(0) = 0, R'(0)=0. R''(0)=0. Теперь, последовательно интегрируя R'''(h), используя теорему о среднем, получим

Таким образом, остаточный член квадратурной формулы Симпсона равен
, где .. (11)
Следовательно, формула Симпсона является точной для полиномов не только второй, но и третьей степени.
Получим теперь формулу Симпсона для произвольного интервала [a,b]. Пусть n = 2m есть четное число узлов сетки ,

и yi=f(xi). Применяя формулу Симпсона (10) к каждому удвоенному промежутку длины 2h, будем иметь

Отсюда получаем общую формулу Симпсона
.(12)
Ошибка для каждого удвоенного промежутка дается формулой (11).

Т.к. число удвоенных промежутков равно m, то

С учетом непрерывности yIV на [a,b], можно найти точку ε, такую, что .
Поэтому будем иметь
. (13)
Если задана предельно допустимая погрешность ε, то, обозначив , получим для определения шага h
.
На практике вычисление R по формуле (13) бывает затруднительным. В этом случае можно поступить следующим образом. Вычисляем интеграл I(h)=I1 с шагом h, I(2h)=I2 с шагом 2h и т.д. и вычисляем погрешность Δ:
Δ = |Ik-Ik-1| ≤ ε. (14)
Если неравенство (14) выполняется (ε - заданная погрешность), то за оценку интеграла берут Ik = I(k·h).
Замечание. Если сетка неравномерная, то формула Симпсона приобретает следующий вид (получить самостоятельно)
.
Пусть число узлов n = 2m (четное). Тогда
где hi=xi-xi-1.

Пример. С помощью формулы Симпсона вычислить интеграл , приняв n = 10.
Решение: Имеем 2m = 10. Отсюда . Результаты вычислений даны в таблице:

ixiy2i-1y2i
0 0y0 = 1.00000
1 0.1 0.90909
2 0.2 0.83333
3 0.3 0.76923
4 0.4 0.71429
5 0.5 0.66667
6 0.6 0.62500
7 0.7 0.58824
8 0.8 0.55556
9 0.9 0.52632
10 1.0 yn=0.50000
σ1σ2

По формуле (12) получим .
Рассчитаем погрешность R=R2. Т.к. , то .
Отсюда max|yIV|=24 при 0≤x≤1 и, следовательно . Таким образом, I = 0.69315 ± 0.00001.
загрузка...